Рациональные неравенства

Содержание

Коротко о главном

Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов $latex \displaystyle f\left(x\right)$ и $latex \displaystyle g\left(x\right)$.

Стандартный вид рационального неравенства: $latex \displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0$.

Строгие рациональные неравенства:

  • $latex \displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0$, тогда и только тогда, когда $latex \displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)>0$;
  • $latex \displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0$, тогда и только тогда, когда $latex \displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)<0$.

Нестрогие рациональные неравенства:

  • $latex \displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\ge 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}>0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.$
  • $latex \displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\le 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g~\left( x \right)}<0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.$

Алгоритм решения рациональных неравенств:

  1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде: $latex \displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0$;
  2. Раскладываем числитель ($latex \displaystyle f\left( x \right)$) и знаменатель ($latex \displaystyle g\left( x \right)$) на множители. Для этого решаем уравнения $latex \displaystyle f\left( x \right)=0$ и $latex \displaystyle g\left( x \right)=0$;
  3. Находим ОДЗ ($latex \displaystyle g\left( x \right)\ne 0$);
  4. Отмечаем на числовой оси нули числителя  и нули знаменателя;
  5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный $latex x$ из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
  7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое — все точки выколотые; если неравенство нестрогое — нули знаменателя — выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя — не выколотые точки.

Проверь себя — реши рациональные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.