Рациональные неравенства

Содержание

Коротко о главном

Рациональное неравенство — неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов \(\displaystyle f\left(x\right)\) и \(\displaystyle g\left(x\right)\).

Стандартный вид рационального неравенства: \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\).

Строгие рациональные неравенства:

  • \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\), тогда и только тогда, когда \(\displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)>0\);
  • \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<0\), тогда и только тогда, когда \(\displaystyle f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)<0\).

Нестрогие рациональные неравенства:

  • \(\displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\ge 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}>0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)
  • \(\displaystyle \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}\le 0\ \ \Leftrightarrow \ \ \left[ \begin{array}{l}\frac{f\left( x \right)}{g~\left( x \right)}<0,\\\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right)=0,\\g\left( x \right)\ne 0.\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Алгоритм решения рациональных неравенств:

  1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде: \(\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}>0\);
  2. Раскладываем числитель (\(\displaystyle f\left( x \right)\)) и знаменатель (\(\displaystyle g\left( x \right)\)) на множители. Для этого решаем уравнения \(\displaystyle f\left( x \right)=0\) и \(\displaystyle g\left( x \right)=0\);
  3. Находим ОДЗ (\(\displaystyle g\left( x \right)\ne 0\));
  4. Отмечаем на числовой оси нули числителя  и нули знаменателя;
  5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный \(x\) из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
  7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое — все точки выколотые; если неравенство нестрогое — нули знаменателя — выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя — не выколотые точки.

Проверь себя — реши рациональные неравенства.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Рациональные неравенства: 2 комментария

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *