Сравнение чисел. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

При решении уравнений и неравенств, а также задач с модулями требуется расположить найденные корни на числовой прямой. Как ты знаешь, найденные корни могут быть разными. Они могут быть такими:  ,  ,  ,  , а могут быть и вот такими:    .

Соответственно, если числа не рациональные а иррациональные (если забыл что это, ищи в теме «дроби, рациональные числа»), или представляют собой сложные математические выражения, то расположить их на числовой прямой весьма проблематично. Тем более, что калькуляторами на экзамене пользоваться нельзя, а приближенный подсчет не дает 100% гарантий, что одно число меньше другого (вдруг разница между сравниваемыми числами  ?).

Конечно, ты знаешь, что положительные цифры всегда больше отрицательных, и что если мы представим числовую ось, то при сравнении, наибольшие числа будут находиться правее, чем наименьшие:  ;  ;   и т.д.

Сравнение чисел на числовой оси

Но всегда ли все так легко? Где на числовой оси мы отметим    .

Как их сравнить, например, с числом  ? Вот в этом-то и загвоздка … )

Для начала поговорим в общих чертах как и что сравнивать.

Если надо сравнить числа   и  , между ними ставим знак   (происходит от латинского слова Versus или сокращенно vs. – против):  . Этот знак заменяет неизвестный нам знак неравенства ( ). Далее будем выполнять тождественные преобразования до тех пор, пока не станет ясно, какой именно знак нужно поставить между числами.

Суть сравнения чисел состоит в следующем: мы относимся к знаку   так, будто это какой-то знак неравенства. И с выражением   мы можем делать все то же, что делаем обычно с неравенствами:

  • прибавить любое число к обеим частям (и вычесть, конечно, тоже можем)
  • «перенести все в одну сторону», то есть вычесть из обеих частей одно из сравниваемых выражений. На месте вычитаемого выражения останется  :  .
  • домножать или делить на одно и то же число. Если это число отрицательное, знак неравенства меняется на противоположный:  .
  • возводить обе части в одну и ту же степень. Если эта степень – четная, необходимо убедиться, что обе части имеют одинаковый знак; если обе части положительны, при возведении в степень знак не меняется, а если отрицательны, тогда меняется на противоположный.
  • извлечь корень одинаковой степени из обеих частей. Если извлекаем корень четной степени, необходимо предварительно убедиться, что оба выражения неотрицательны.
  • любые другие равносильные преобразования.

Важно: преобразования желательно делать такими, чтобы знак неравенства не менялся! То есть в ходе преобразований нежелательно домножать на отрицательное число, и нельзя возводить в квадрат, если одна из частей отрицательна.

Сравнение дробей

Итак, нам необходимо сравнить две дроби:   и  .

Есть несколько вариантов, как это сделать.

Вариант 1. Привести дроби к общему знаменателю.

Запишем   в виде обыкновенной дроби:

  - (как ты видишь, я также сократила на   числитель и знаменатель).

Теперь нам необходимо сравнить дроби:

  и  

Сейчас мы можем продолжить сравнивать также двумя способами. Мы можем:

  1. просто привести все к общему знаменателю, представив обе дроби как неправильные (числитель больше знаменателя):
     
     
     
    Какое число больше? Правильно, то, у которого числитель больше, то есть первое.
     
  2. «отбросим»   (считай, что мы из каждой дроби вычли единицу, и соотношение дробей друг с другом, соответственно, не изменилось) и будем сравнивать дроби:
     
    Приводим их также к общему знаменателю:
     
    Заметь, в принципе мы можем не считать знаменатель. Мы итак видим, что он одинаков и нам необходимо сравнивать числитель. Тогда зачем мы будем тратить время на подсчет знаменателя?
     
    Мы получили абсолютно точно такой же результат, как и в предыдущем случае – первое число больше, чем второе:
     
    Проверим также, правомерно ли мы вычли единицу? Посчитаем разницу в числителе при первом расчете и втором:
    1)  
    2)  

Итак, мы рассмотрели, как сравнивать дроби, приводя их к общему знаменателю. Перейдем к другому методу – сравнение дробей приводя их к общему… числителю.

Вариант 2. Сравнение дробей с помощью приведения к общему числителю.

Да, да. Это не опечатка. В школе редко кому рассказывают этот метод, но очень часто он весьма удобен. Чтобы ты быстро понял его суть, задам тебе только один вопрос – «в каких случаях значение дроби наибольшее?» Конечно, ты скажешь «когда числитель максимально большой, а знаменатель максимально маленький».

Например, ты же точно скажешь, что   Верно? А если нам надо сравнить такие дроби:  ? Думаю, ты тоже сразу верно поставишь знак, ведь в первом случае   делят на   частей, а во втором на целых  , значит, во втором случае кусочки получаются совсем маленькие, и соответственно:  . Как ты видишь, знаменатели здесь разные, а вот числители одинаковы. Однако, для того, чтобы сравнить эти две дроби, тебе не обязательно искать общий знаменатель. Хотя… найди его и посмотри, вдруг знак сравнения все же неправильный?

 

 

А знак-то тот же.

Вернемся к нашему изначальному заданию – сравнить  и  . Будем сравнивать   и  . Приведем данные дроби не к общему знаменателю, а к общему числителю. Для этого просто числитель и знаменатель первой дроби умножим на  . Получим:

  и  . Какая дробь больше? Правильно, первая.

Вариант 3. Сравнение дробей с помощью вычитания.

Как сравнивать дроби с помощью вычитания? Да очень просто. Мы из одной дроби вычитаем другую. Если результат получается положительным, то первая дробь (уменьшаемое) больше второй (вычитаемое), а если отрицательным, то наоборот.

В нашем случае попробуем из второй вычесть первую дробь:  .

Как ты уже понял, мы так же переводим   в обыкновенную дробь и получаем тот же результат -   . Наше выражение приобретает вид:

 

Далее нам все равно придется прибегнуть к приведению к общему знаменателю. Вопрос как: первым способом, преобразуя дроби в неправильные, или вторым, как бы «убирая» единицу? Кстати, это действие имеет вполне математическое обоснование. Смотри:

 

Мне больше нравится второй вариант, так как перемножение в числителе при приведении к общему знаменателю становится в разы проще.

Приводим к общему знаменателю:

 

Здесь главное не запутаться, какое число и откуда мы отнимали. Внимательно посмотреть ход решения и случайно не перепутать знаки. Мы отнимали от второго числа первое и получили отрицательный ответ, значит?.. Правильно, первое число больше второго.

 

Разобрался? Попробуй сравнить дроби:

 

Стоп, стоп. Не спеши приводить к общему знаменателю или вычитать. Посмотри:   можно легко перевести в десятичную дробь. Сколько это будет? Правильно. Что в итоге больше?

 

Это еще один вариант – сравнение дробей путем приведения к десятичной дроби.

Вариант 4. Сравнение дробей с помощью деления.

Да, да. И так тоже можно. Логика проста: когда мы делим большее число на меньшее, в ответе у нас получается число, больше единицы, а если мы делим меньшее число на большее, то ответ приходится на промежуток от   до  .

Чтобы запомнить это правило, возьми для сравнения любые два простых числа, например,   и  . Ты же знаешь, что   больше  ? Теперь разделим   на  . Наш ответ -  . Соответственно, теория верна. Если мы разделим   на  , что мы получим   – меньше единицы, что в свою очередь подтверждает, что   на самом деле меньше  .

Попробуем применить это правило на обыкновенных дробях. Сравним:

 

Разделим первую дробь на вторую:

 

Сократим на   и на  .

 

Полученный результат меньше  , значит делимое меньше делителя, то есть:

 

Мы разобрали все возможные варианты сравнения дробей. Как ты видишь их 5:

  • приведение к общему знаменателю;
  • приведение к общему числителю;
  • приведение к виду десятичной дроби;
  • вычитание;
  • деление.

Готов тренироваться? Сравни дроби оптимальным способом:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Сравним ответы:

  1.   (  – перевести в десятичную дробь)
  2.   (поделить одну дробь на другую и сократить на   числитель и знаменатель)
  3.   (выделить целую часть и сравнивать дроби по принципу одинакового числителя)
  4.   (поделить одну дробь на другую и сократить на   числитель и знаменатель).

2. Сравнение степеней

Теперь представим, что нам необходимо сравнить не просто числа, а выражения, где существует степень (читай раздел про степени).

Cравни:  .

Конечно, ты без труда поставишь знак:

 , ведь если мы заменим степень умножением, мы получим:

 

Из этого маленького и примитивного примера вытекает правило:

Если основание сравниваемых степеней одинаково, то больше та степень, у которой больше показатель степени.

Попробуй теперь сравнить следующее:  . Ты так же без труда поставишь знак:

 , потому что, если мы заменим возведение степень на умножение…

В общем, ты все понял, и это совсем несложно.

Сложности возникают только тогда, когда при сравнении у степеней разные и основания, и показатели. В этом случае необходимо попробовать привести к общему основанию. Например:

 

Разумеется, ты знаешь, что   это  , соответственно, выражение приобретает вид:

clip_image120

Раскроем скобки и сравним то, что получится:

  - легко?

 

Несколько особый случай, когда основание степени ( ) меньше единицы.

Если  , то из двух степеней   и   больше та, показатель которой меньше.

Попробуем доказать это правило. Пусть  .

Введем некоторое натуральное число  , как разницу между   и  .

Тогда  .

Поэтому:

 

Логично, неправда ли?

 

А теперь еще раз обратим внимание на условие -  .

Соответственно:  . Следовательно,  .

Например:

 

Как ты понял, мы рассмотрели случай, когда основания степеней равны. Теперь посмотрим, когда основание находится в промежутке от   до  , но равны показатели степени. Здесь все очень просто.

Запомним, как это сравнивать на примере:

 

Конечно, ты быстро посчитал:

 

Поэтому, когда тебе будут попадаться похожие задачи для сравнения, держи в голове какой-нибудь простой аналогичный пример, который ты можешь быстро просчитать, и на основе этого примера проставляй знаки в более сложном.

Выполняя преобразования, помни, что если ты домножаешь, складываешь, вычитаешь или делишь, то все действия необходимо делать и с левой и с правой частью (если ты умножаешь на  , то умножать необходимо и то, и другое).

Кроме этого, бывают случаи, когда делать какие-либо манипуляции просто невыгодно. Например, тебе нужно сравнить  . В данном случае, не так сложно возвести в степень, и расставить знак исходя из этого:

 

 

Давай потренируемся. Сравни степени:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Готов сравнивать ответы? Вот что у меня получилось:

  1.   - то же самое, что  
  2.   - то же самое, что  
  3.   - то же самое, что  
  4.   - то же самое, что  

3. Сравнение чисел с корнем

Для начала вспомним, что такое корни? Вот эту   запись помнишь?

 

Корнем   степени из действительного числа   называется такое число  , для которого выполняется равенство  .

Корни нечетной степени существуют для отрицательных и положительных чисел, а корни четной степени - только для положительных.

Значением корня часто является бесконечная десятичная дробь, что затрудняет его точное вычисление, поэтому важно уметь сравнивать корни.

Если ты подзабыл, что это такое и с чем его едят – почитай про корни здесь (ссылка). Если все помнишь – давай учиться поэтапно сравнивать корни.

Допустим, нам необходимо сравнить:

 

Чтобы сравнить эти два корня, не нужно делать никаких вычислений, просто проанализируй само понятие «корень». Понял, о чем я говорю? Да вот об этом:  иначе можно записать как третья степень какого-то числа, равна подкоренному выражению.

 

 

А что больше?   или  ? Это ты, конечно, сравнишь без всякого труда. Чем большее число мы возводим в степень, тем больше будет значение.

Итак. Выведем правило.

Если показатели степени корней одинаковы (в нашем случае это  ), то необходимо сравнивать подкоренные выражения (  и  ) - чем больше подкоренное число, тем больше значение корня при равных показателях.

Сложно запомнить? Тогда просто держи в голове пример   и  . Что больше?

 

 

  больше  .

Показатели степени корней одинаковы, так как корень квадратный. Подкоренное выражение одного числа ( ) больше другого ( ), значит, правило действительно верное.

А что, если подкоренные выражения одинаковые, а вот степени корней разные? Например:  .

Тоже вполне понятно, что при извлечении корня большей степени получится меньшее число. Возьмем для примера:

 

Обозначим значение первого корня как  , а второго - как  , то:

 

 

Ты без труда видишь, что в данных уравнениях   должно быть больше  , следовательно:

 .

Если подкоренные выражения одинаковы (в нашем случае  ), а показатели степени корней различны (в нашем случае это   и  ), то необходимо сравнивать показатели степени (  и  ) - чем больше показатель, тем меньше данное выражение.

Попробуй сравнить следующие корни:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Сравним полученные результаты?

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

С этим благополучно разобрались :). Возникает другой вопрос: а что если у нас все разное? И степень, и подкоренное выражение? Не все так сложно нам нужно всего- навсего… «избавиться» от корня. Да, да. Именно избавиться)

Если у нас различные и степени и подкоренные выражения, необходимо найти наименьшее общее кратное (читай раздел про целые числа) для показателей корней и возвести оба выражения в степень, равную наименьшему общему кратному.

Что мы все на словах и на словах. Приведем пример:

 

  1. Смотрим показатели корней –   и  . Наименьшее общее кратное у них –  .
  2. Возведем оба выражения в   степень: 
  3. Преобразуем выражение и раскроем скобки (подробнее в главе степень и ее свойства): 
     
  4. Посчитаем, что у нас получилось, и поставим знак:
     

4. Сравнение логарифмов

Вот так, медленно, но верно, мы подошли к вопросу как же сравнивать логарифмы. Если ты не помнишь что это за зверь такой, советую для начала прочитать теорию из раздела логарифмы. Прочитал? Тогда ответь на несколько важных вопросов:

  1. Что называется аргументом логарифма, а что его основанием?
  2. От чего зависит, возрастает ли функция или убывает?

Если все помнишь и отлично усвоил – приступаем!

Для того, чтобы сравнивать логарифмы между собой, необходимо знать всего 3 приема:

  • приведение к одинаковому основанию;
  • приведение к одинаковому аргументу;
  • сравнение с третьим числом.

Изначально, обрати внимание на основание логарифма. Ты помнишь, что если оно меньше  , то функция убывает, а если больше, то возрастает. Именно на этом будет основаны наши суждения.

Рассмотрим сравнение логарифмов, которые уже приведены к одинаковому основанию, либо аргументу.

Для начала упростим задачу: пусть в сравниваемых логарифмах равные основания. Тогда:

  1. Функция  , при   возрастает на промежутке от  , значит по определению  , то   («прямое сравнение»).
  2. Пример:   - основания одинаковы,   ,соответственно сравниваем аргументы:  , следовательно:  
  3. Функция  , при  , убывает на промежутке от  , значит по определению  , то   («обратное сравнение»).  - основания одинаковы,  , соответственно сравниваем аргументы:  , однако, знак у логарифмов будет «обратный», так как функция убывает:  .

Теперь рассмотрим случаи, когда основания различны, но одинаковы аргументы.

  1. Основание   больше  .
    •  . В этом случае используем «обратное сравнение». Например:  – аргументы одинаковы,   и  . Сравниваем основания:   однако, знак у логарифмов будет «обратный»:  
    •  . В этом случае используем «прямое сравнение». Например:  
       
       
  2. Основание а находится в промежутке  .
    •  . В этом случае используем «прямое сравнение». Например:  
       
       
    •  . В этом случае используем «обратное сравнение». Например:  
       
       

Запишем все в общем табличном виде:

 , при этом    , при этом  
   
   

Соответственно, как ты уже понял, при сравнении логарифмов нам необходимо привести к одинаковому основанию, либо аргументу, К одинаковому основанию мы приходим, используя формулу перехода от одного основания к другому.

Можно также сравнивать логарифмы с третьим числом и на основании этого делать вывод о том, что меньше, а что больше. Например, подумай, как сравнить вот эти два логарифма?

 

Небольшая подсказка – для сравнения тебе очень поможет логарифм, аргумент которого будет равен  .

Подумал? Давай решать вместе.

Мы легко сравним с тобой эти два логарифма:

 

Не знаешь как? Смотри выше. Мы только что это разбирали. Какой знак там будет? Правильно:

 

 . Согласен?

Сравним между собой:

 

У тебя должно получиться следующее:

 

А теперь соедини все наши выводы в один. Получилось?

 

5. Сравнение тригонометрических выражений.

Что такое синус, косинус, тангенс, котангенс? Для чего нужна единичная окружность и как на ней найти значение тригонометрических функций? Если ты не знаешь ответы на эти вопросы, очень рекомендую тебе прочитать теорию по этой теме. А если знаешь, то сравнить тригонометрические выражения между собой для тебя не составляет труда!

Немного освежим память. Нарисуем единичную тригонометрическую окружность и вписанный в нее треугольник. Справился? Теперь отметь, по какой стороне у нас откладывается косинус, а по какой синус, используя стороны треугольника. (ты, конечно помнишь, что синус, это отношение противолежащей стороны к гипотенузе, а косинус прилежащей?). Нарисовал? Отлично! Последний штрих – проставь, где у нас будет   , где  и так далее. Проставил? Фух) Сравниваем, что получилось у меня и у тебя.

55з(2)

Фух! А теперь приступаем к сравнению!

Допустим, нам необходимо сравнить   и  . Нарисуй эти углы, используя подсказки в рамочках (где у нас отмечено  , где  ), откладывая точки на единичной окружности. Справился? Вот что у меня получилось.

55з(3)

Теперь опустим перпендикуляр из точек, отмеченных нами на окружности на ось … Какую? Какая ось у нас показывает значение синусов? Правильно,  . Вот что у тебя должно получиться:

55з(4)

Глядя на этот рисунок, что больше:   или  ? Конечно,  , ведь точка   находится выше точки  .

 

Аналогичным образом мы сравниваем значение косинусов. Только перпендикуляр мы опускаем на ось… Верно,  . Соответственно, смотрим, какая точка находится правее (ну или выше, как в случае с синусами), то значение и больше.

Наверное, ты уже догадываешься, как сравнивать тангенсы, верно? Все, что нужно, знать что такое тангенс. Так что такое тангенс?) Правильно, отношение синуса к косинусу.

Чтобы сравнить тангенсы мы так же рисуем угол, как и в предыдущем случае. Допустим, нам необходимо сравнить:

 

Нарисовал? Теперь так же отмечаем значения синуса на координатной оси  . Отметил? А теперь укажи значения косинуса на координатной прямой  . Получилось? Давай сравним:

55з(5)

Как ты думаешь, что будет дальше? Распишем по отрезкам, что такое   и  

 

 

А теперь проанализируй написанное.   - мы большой отрезок делим на маленький. В ответе будет значение, которое точно больше единицы. Верно?

А при   мы маленький делим на большой. В ответе будет число, которое точно меньше единицы.

Так значение какого тригонометрического выражения больше?

Правильно:

 

Как ты теперь понимаешь, сравнение котангенсов – то же самое, только наоборот: мы смотрим, как относятся друг к другу отрезки, определяющие косинус к синусу.

Попробуй самостоятельно сравнить следующие тригонометрические выражения:

Примеры.

  1.  
  2.  
  3.  

Ответы.

  1.  
  2.  
  3.  

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть