Теорема синусов. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Теорема синусов: формулировка

Для любого \(\displaystyle \Delta ABC\)

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

(здесь \(\displaystyle R\) – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще \(\displaystyle R\)?». Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр \(\displaystyle BO\). Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке \(\displaystyle K\). Давай рассмотрим \(\displaystyle \Delta BKC\). Что же это за треугольник?

Теорема синусов: доказательство

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в \(\displaystyle \Delta BKC\) угол \(\displaystyle C\) опирается на диаметр \(\displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90{}^\circ \) (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того, \(\displaystyle \angle K\) в \(\displaystyle \Delta BKC\) равен \(\displaystyle \angle A\) в \(\displaystyle \Delta ABC\), потому что эти углы опираются на одну дугу \(\displaystyle BC\) (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса \(\displaystyle \angle K\) в прямоугольном \(\displaystyle \Delta BKC\) \(\displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{BK}\).

Но ведь \(\displaystyle BK\) – диаметр \(\displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R\), и \(\displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{2R}\).

Вспомним, что \(\displaystyle \angle K=\angle A\) и получим \(\displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=2R\).

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами \(\displaystyle B\) и \(\displaystyle C\)? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим \(\displaystyle \angle B\).

Теорема синусов: доказательство 2.

Теперь проведём диаметр \(\displaystyle AO\) и соединим точки \(\displaystyle K\) и \(\displaystyle C\). Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? \(\displaystyle \Delta AKC\), конечно, прямоугольный, так как \(\displaystyle \angle C\) опирается на диаметр \(\displaystyle AK\). Но теперь \(\displaystyle \angle K+\angle B=180{}^\circ \), потому что четырехугольник \(\displaystyle ABCK\) – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла \(\displaystyle A\) у нас было \(\displaystyle \angle A=\angle K\).) В чём же дело? Ну, просто \(\displaystyle \angle B\) – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса \(\displaystyle \angle K\) в прямоугольном \(\displaystyle \Delta AKC\).

\(\displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{AK}\); то есть \(\displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{2R}\)

Но \(\displaystyle \angle B=180{}^\circ -\angle K\Rightarrow \sin \angle B=\sin \angle K\) (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит, \(\displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\sin \angle B}=2R\).

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле \(\displaystyle C\), то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

\(\displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

в такой последовательности:

\(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sin \angle A}=2R\\\frac{b}{\sin \angle B}=2R\hspace{13mm}\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array} \right.\)

Больше задач — после регистрации.

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует \(\displaystyle R\)?! Возможно, правда, ты знаком с формулой \(\displaystyle S=\frac{abc}{4R}\), то есть \(\displaystyle R=\frac{abc}{4S}\quad\), но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов: \(\displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}\)

Из формулы площади: \(\displaystyle R=\frac{abc}{4S}\).

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула \(\displaystyle S=\frac{abc}{4R}\) как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!

Проверь себя — реши задачи на теорему синусов.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий