Теорема синусов. Средний уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Теорема синусов: формулировка

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Теорема синусов: формулировка

Для любого $latex \displaystyle \Delta ABC$

$latex \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$

(здесь $latex \displaystyle R$ – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще $latex \displaystyle R$?». Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов: доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр $latex \displaystyle BO$. Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке $latex \displaystyle K$. Давай рассмотрим $latex \displaystyle \Delta BKC$. Что же это за треугольник?

Теорема синусов: доказательство

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в $latex \displaystyle \Delta BKC$ угол $latex \displaystyle C$ опирается на диаметр $latex \displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90{}^\circ $ (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того, $latex \displaystyle \angle K$ в $latex \displaystyle \Delta BKC$ равен $latex \displaystyle \angle A$ в $latex \displaystyle \Delta ABC$, потому что эти углы опираются на одну дугу $latex \displaystyle BC$ (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса $latex \displaystyle \angle K$ в прямоугольном $latex \displaystyle \Delta BKC$ $latex \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{BK}$.

Но ведь $latex \displaystyle BK$ – диаметр $latex \displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R$, и $latex \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{2R}$.

Вспомним, что $latex \displaystyle \angle K=\angle A$ и получим $latex \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=2R$.

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами $latex \displaystyle B$ и $latex \displaystyle C$? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим $latex \displaystyle \angle B$.

Теорема синусов: доказательство 2.

Теперь проведём диаметр $latex \displaystyle AO$ и соединим точки $latex \displaystyle K$ и $latex \displaystyle C$. Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? $latex \displaystyle \Delta AKC$, конечно, прямоугольный, так как $latex \displaystyle \angle C$ опирается на диаметр $latex \displaystyle AK$. Но теперь $latex \displaystyle \angle K+\angle B=180{}^\circ $, потому что четырехугольник $latex \displaystyle ABCK$ – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла $latex \displaystyle A$ у нас было $latex \displaystyle \angle A=\angle K$.) В чём же дело? Ну, просто $latex \displaystyle \angle B$ – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся. Итак, запишем выражение для синуса $latex \displaystyle \angle K$ в прямоугольном $latex \displaystyle \Delta AKC$.

$latex \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{AK}$; то есть $latex \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{2R}$

Но $latex \displaystyle \angle B=180{}^\circ -\angle K\Rightarrow \sin \angle B=\sin \angle K$ (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит, $latex \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\sin \angle B}=2R$.

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле $latex \displaystyle C$, то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается. Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

$latex \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R$

в такой последовательности:

$latex \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sin \angle A}=2R\\\frac{b}{\sin \angle B}=2R\hspace{13mm}\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array} \right.$

Больше задач — после регистрации.

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует $latex \displaystyle R$?! Возможно, правда, ты знаком с формулой $latex \displaystyle S=\frac{abc}{4R}$, то есть $latex \displaystyle R=\frac{abc}{4S}\quad$, но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов: $latex \displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}$

Из формулы площади: $latex \displaystyle R=\frac{abc}{4S}$.

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить? А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула $latex \displaystyle S=\frac{abc}{4R}$ как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей, Площадь треугольника и четырехугольника». Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!

Проверь себя — реши задачи на теорему синусов.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий