21 июля

1 comments

Решение уравнений, неравенств, систем с помощью графиков функций (ЕГЭ – 2021)

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно решить намного легче и быстрее!

Как?

С помощью графиков функций!

Ты скажешь: «Как так? Чертить что-то, да и что чертить?» Поверь мне, иногда это удобнее и проще.

Приступим? Начнем с уравнений!

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: \( \displaystyle 2{x} -10=2\)

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

\( \displaystyle 2x=2+10\)

\( \displaystyle 2x=12\)

Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

Иными словами, у нас будет:

\( \displaystyle {{y}_{1}}=2x\)

\( \displaystyle {{y}_{2}}=12\)

А теперь строим. Что у тебя получилось?

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:

Наш ответ: \( \displaystyle x=6\)

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число \( \displaystyle 6\)!

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

\( \displaystyle 2{x} -10=2\)

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так, как они сейчас есть:

\( \displaystyle {{y}_{1}}=2{x} -10\)

\( \displaystyle {{y}_{2}}=2\)

Построил? Смотрим!

Что является решением на этот раз? Все верно. То же самое: координата \( \displaystyle x\) точки пересечения графиков:

И снова наш ответ: \( \displaystyle x=6\).

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее... Например, графическое решение квадратных уравнений.

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

\( \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\)

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…

Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Способ 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: \( \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\)

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

\( \displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

\( \displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}\)

Ты скажешь «Стоп! Формула для \( \displaystyle y\) очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.

Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

\( \displaystyle x=\frac{-2}{2}=-1\)

\( \displaystyle y=-\frac{{{2}^{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9\)

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, \( \displaystyle 3\).

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка \( \displaystyle A\left( -1;-9 \right)\). Нам необходимо еще две точки, соответственно, \( \displaystyle x\) можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при \( \displaystyle x=0\) и \( \displaystyle x=2\).

При \( \displaystyle x=0\):

\( \displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8\)

При \( \displaystyle x=2\):

\( \displaystyle y={{2}^{2}}+2\cdot 2-8=0\)

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых \( \displaystyle y=0\), то есть \( \displaystyle x=2\) и \( \displaystyle x=-4\). Потому что \( \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\).

И если мы говорим, что \( \displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8\), то значит, что \( \displaystyle y\) тоже должен быть равен \( \displaystyle 0\), или \( \displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0\).

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант. Что у тебя получилось? То же самое? Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Способ 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: \( \displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0\), но запишем его несколько по-другому, а именно:

\( \displaystyle {{x}^{2}}=8-2x\)

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

  • \( \displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}\) – графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
  • \( \displaystyle {{y}_{2}}=8-2x\) – графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) в голове, даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по \( \displaystyle x\), которые получились при пересечении двух графиков: \( \displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}\) и \( \displaystyle {{y}_{2}}=8-2x\), то есть:

Соответственно, решением данного уравнения являются:

\( \displaystyle {{x}_{1}}=2\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=-4\)

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий, и даже легче, чем искать корни через дискриминант! А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение:

\( \displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+3=0\)

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

  • \( \displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{2}}\)
  • \( \displaystyle {{y}_{2}}=5{x} -3\)

По графикам видно, что ответами являются:

\( \displaystyle {{x}_{1}}=1\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=1,5\)

Справился? Молодец! Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Теперь попробуем решить следующее:

\( \displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0\)

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

  • \( \displaystyle {{y}_{1}}=\frac{3}{x}\) – графиком является гипербола
  • \( \displaystyle {{y}_{2}}={x} -2\) – графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle x\) в голове, даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения \( \displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0\)?

Правильно, \( \displaystyle {{x}_{1}}=-1\) и \( \displaystyle {{x}_{2}}=3\). Вот и подтверждение:

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

При \( \displaystyle {{x}_{1}}=-1:\frac{3}{-1}-\left( -1 \right)+2=-3+1+2=0\).

При \( \displaystyle {{x}_{2}}=3:\frac{3}{3}-3+2=1-3+2=0\).

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения – одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

\( \displaystyle 2{{x}^{3}}-{x} -1=0\).

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

\( \displaystyle 2{{x}^{3}}=x+1\), соответственно:

  • \( \displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{3}}\) – кубическая парабола.
  • \( \displaystyle {{y}_{2}}=x+1\) – обыкновенная прямая.

Ну и строим:

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является \( \displaystyle {{x}_{1}}=1\).

Прорешав такое большое количество примеров, уверена, ты понял, как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Графическое решение систем, по сути, ничем не отличается от графического решения уравнений. Мы будем строить два графика, и их точки пересечения будут являться корнями данной системы. Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.

Графическое решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y+2x=1.\end{array} \right.\)

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с \( \displaystyle y\), а справа – что связано с \( \displaystyle x\). Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y=1-2x.\end{array} \right.\)

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему? Намекну: мы имеем дело с системой, в системе есть и \( \displaystyle x\), и \( \displaystyle y\)… Смекаешь?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только \( \displaystyle x\), как при решении уравнений! Еще один важный момент – правильно их записать и не перепутать, где у нас значение \( \displaystyle x\), а где значение \( \displaystyle y\) ! Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

И ответы: \( \displaystyle x=1\) и \( \displaystyle y=-1\). Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Все сошлось? Идем дальше!

Графическое решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y+x+1=0.\end{array} \right.\)

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y=-{x} -1.\end{array} \right.\)

А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

При \( \displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \( \displaystyle {{y}_{1}}=0\).

При \( \displaystyle {{x}_{2}}=2\), \( \displaystyle {{y}_{2}}=-3\).

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.\)

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y={{x}^{3}}+2.\end{array} \right.\)

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

При \( \displaystyle {{x}_{1}}=-1\), \( \displaystyle {{y}_{1}}=1\).

При \( \displaystyle {{x}_{2}}=0\), \( \displaystyle {{y}_{2}}=2\).

При \( \displaystyle {{x}_{3}}=2\), \( \displaystyle {{y}_{3}}=10\).

А теперь еще раз посмотри на систему:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.\)

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут?

Согласись, математика – это все-таки просто, особенно когда, глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Графическое решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно, с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

\( \displaystyle {{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\)

Для начала проведем простейшие преобразования – раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

\( \displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\\\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( 25-10x+{{x}^{2}} \right)<3\\{{x}^{2}}-12x+36-25+10{x} -{{x}^{2}}<3\\-2x+11<3\\-2x<3-11\\-2x<-8\end{array}\)

Что мы делаем дальше? Правильно, делим обе части на отрицательное число \( \displaystyle \left( -2 \right)\), при этом не забывая поменять знак неравенства на противоположный (если не помнишь это, посмотри тему «Линейные неравенства»):

\( \displaystyle \begin{array}{l}-2x<-8\\x>\frac{8}{2}\\x>4\end{array}\)

Неравенство нестрогое, поэтому \( \displaystyle 4\) - не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее \( \displaystyle 4\), так как \( \displaystyle 5\) больше \( \displaystyle 4\), \( \displaystyle 6\) больше \( \displaystyle 4\) и так далее:

Ответ: \( x\in \left( 4;+\infty \right)\)

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

\( 2{x} -3<y\)

Нарисуем в системе координат функцию \( y=2{x} -3\).

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой.

А если было бы больше  Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» синим цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты \( \displaystyle x\) и \( \displaystyle y\) любой точки из закрашенной области и есть решения.

Графическое решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции \( \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0\).

Что показывает нам знак при коэффициенте \( \displaystyle a\)? Верно, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз (не помнишь? Почитай теорию «Квадратичная функция»).

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси \( \displaystyle Ox\) (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу – решим графически неравенство \( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\).

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1.

Записываем нашу параболу как функцию:

\( \displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21\)

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

\( \displaystyle x=-\frac{b}{2a}\)

\( \displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}\)

Посчитал? Что у тебя получилось?

\( \displaystyle x=-\frac{10}{-2}=5\)

\( \displaystyle y=-\frac{100-4\left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)}{4\left( -1 \right)}=-\frac{100-84}{-4}=-\frac{16}{-4}=4\)

Теперь возьмем еще две различных точки \( \displaystyle x\) и посчитаем для них \( \displaystyle y\):

\( \displaystyle {{x}_{1}}=6\)

\( \displaystyle {{y}_{1}}=-{{6}^{2}}+10\cdot 6-21=-36+60-21=3\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=7\)

\( \displaystyle {{y}_{2}}=-{{7}^{2}}+10\cdot 7-21=-49+70-21=0\)

Начинаем строить одну ветвь параболы:

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

А теперь возвращаемся к нашему неравенству \( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\).

Нам необходимо, чтобы \( \displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21\) было меньше нуля, соответственно:

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем – «выкалываем».

Ответ: \( \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)\)

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства:

\( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\)

Вариант 2.

Решаем квадратное уравнение:

\( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0\)

\( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\( \displaystyle D=100-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)=100-84=16\)

\( \displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4\)

\( \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-10+4}{-2}=3\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-10-4}{-2}=7\)

А дальше быстренько схематично рисуем параболу, не высчитывая, где у нее находится вершина, ведь по сути нам это не нужно, у нас есть основное – точки пересечения параболы с осью \( \displaystyle Ox\).

Возвращаемся к нашему неравенству \( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\) и отмечаем нужные нам промежутки:

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ: \( \displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)\)

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

\( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0\)

\( \displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0\)

Умножим левую и правую части на \( \displaystyle -1\):

\( \displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0\)

\( \displaystyle D={{b}^{2}}-4ac\)

\( \displaystyle D=100-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16\)

\( \displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4\)

\( \displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{10+4}{2}=7\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{10-4}{2}=3\)

Ну а дальше возвращаемся к неравенству и продолжаем все в том же духе.

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: \( \displaystyle {{x}^{2}}-6x+8\le 0\).

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

Ответ: \( \displaystyle \left[ 2;4 \right]\).

Графическое решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

\( \displaystyle 4x<{{x}^{3}}\)?

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

\( \displaystyle {{y}_{1}}=4x\)

\( \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\)

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично! Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть \( \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\). Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график \( \displaystyle {{y}_{1}}=4x\)? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси \( \displaystyle Ox\) у нас \( \displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}\) находится выше, чем \( \displaystyle {{y}_{1}}=4x\)? Верно, \( \displaystyle x\in \left( -2;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)\). Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Алгоритм решения уравнений с использованием графиков функций:

  1. 1
    Выразим \( \displaystyle x\) через \( \displaystyle y\)
  2. 2
    Определим тип функции
  3. 3
    Построим графики получившихся функций
  4. 4
     Найдем точки пересечения графиков
  5. 5
    Корректно запишем ответ (с учетом ОДЗ и знаков неравенств)
  6. 6
    Проверим ответ (подставим корни в уравнение или систему)

Более подробно о построении графиков функций смотри в теме «Функции».

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Заключение

Сегодня ты научился еще одному методу решений различных уравнений, неравенств и систем – графическому. 

Это действительно порой намного проще: представить и быстро набросать на листе бумаги окружность и параболу, чем подставлять и выражать квадраты.

Теперь ты мастерски умеешь это делать.

И нам будет очень интересно узнать твои мысли об этой статье. Как тебе? Помогла ли она?

Что, по-твоему, решать легче: уравнения, неравенства или системы?

Напиши нам в комментариях ниже!

И если остались вопросы, задай их.

Мы читаем все.

Удачи!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Илья
    16 декабря 2017
    Хорошая работа, много «!», а так отлично.

    Виктория
    02 мая 2018
    Спасибо! Подробно и доступно!

    Константус
    04 сентября 2018
    Отлично.

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >