Однородные неравенства. Начальный уровень.

Однородное неравенство - это неравенство вида:

 

(вместо   может стоят любой знак неравенства).

Алгоритм решения:

1. Проверить что одна из переменных не отрицательна и не равна нулю;
2. Разделить неравенство на эту переменную
    
    ;
3. Сделать замену дробной переменной  
    ;
4. Сделать обратную замену.

Чаще всего будут встречаться неравенства второй степени, тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

 .

Что такое однородное неравенство

Однородным называется неравенство вида  (вместо знака   может стоять любой знак неравенства), с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Если ты читал раздел «Однородные уравнения», то должен заметить, что определение неравенства, точно такое же, как и уравнения, за исключением другого знака (  вместо  ). Если не читал, то рекомендуем тебе прочитать этот раздел – в нем ты найдешь много полезного для решения однородных неравенств.

Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты:

• В неравенстве должно быть две переменные (предположим,   и  ), возведенные в одинаковую степень (предположим  ). Т.е.  ,  ;
• В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна  . Т.е. в неравенстве ты должен увидеть   - сумма их степеней равна  ;
• При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе  ). Например,  ;
• Должен присутствовать знак неравенства -  .

Допустим у нас будет  .

Вот мы и получили простое однородное неравенство:

 

Теперь давай попробуем его решить.

Пример 1.

При каких значениях  , верно неравенство:

 

Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).

Для решения нам нужно разделить неравенство на  . Но как ты помнишь, здесь есть нюанс – на ноль делить нельзя. Поэтому давай отдельно рассмотрим случай когда  , т.е.  :

 

 

 

Но   не может быть отрицательным, а значит  , так как в этом случае нет решений. Можно смело делить:

 

 

Произведем замену   и решим простое квадратное неравенство:

 

Найдем корни уравнения  :

 

 

Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент   при  ):

Таким образом,  . Произведем обратную замену:

 

 

Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи   будет меньше, чем  , – а значит ответ записан корректно.

При отрицательном  , наоборот,   будет больше, чем  . То есть:

При  

Ответ:
При  : 
При  :  

Показательные однородные неравенства.

Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.

Решите неравенство  

Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде   и  ) и суммах их степеней в каждом слагаемом равна  .

Разделим все на  . Важно заметить, что в показательных однородных неравенствах можно смело делить на на переменную, ведь она всегда строго больше   (  при любом   будет больше  ).

 

А теперь все совсем просто. Представим  , как   и найдем  :

 

Ответ:  

Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.

Пример 3.

Решите неравенство  

Заметим, что  . Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим все на   (можно делить и на   - сделай самостоятельно):

 

Произведем замену   и решим квадратное неравенство:
 .
Найдем корни уравнения  :

 

Отметим на прямой точки   и   и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент   при   больше  ):

С учетом ОДЗ ( ) -  . Произведем обратную замену:
 
Поскольку   при любом  , получаем ответ:

Ответ:  

Пример 4.

Решите неравенство   Заметим, что  , а  . Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим его на  :
 
Произведем замену   и решим квадратное неравенство:
 .
Найдем корни уравнения  :
 
Отметим на прямой точки   и   и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент   при   больше  ): 
Таким образом,  
Произведем обратную замену:  
Поскольку основание  , то при избавлении от дробинего, мы меняем знаки неравенства:  

Ответ:  

Задания для самостоятельного решения.

А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  
2.  
3.  

Рассмотрим неравенство с параметром:

 , при  .

Его мы сможем решить с помощью метода интервалов, если разложим левую часть на множители. Но как это сделать? Заметим, что если поделить каждое слагаемое на  , получим:

 

 

Сделав замену  , получим обычное квадратное неравенство относительно  :

 .

Обратная замена:  

Такие неравенства называются однородными.

Однородным называется неравенство вида:   (вместо знака   может, конечно, cтоять любой знак неравенства).

То есть, это неравенство с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна  . Решаются такие неравенства делением на одну из неизвестных в этой степени:

 

 ,

и последующей заменой переменных:  . Таким образом получаем рациональное неравенство  -ной степени с одной неизвестной  :

 .

Ты заметил ошибку в моих рассуждениях? Ведь нельзя просто так взять и поделить неравенство на переменную! Она (переменная) может оказаться отрицательной или нулевой.

Поэтому всегда нужно специально проверять, можно ли это сделать.

Чаще всего нам будут встречаться неравенства второй степени (то есть квадратные), тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:

 

 .$

Отметим также, что эта переменная не может быть равна нулю. В случаях, когда это не очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:

Решите неравенство   при всех  .

Решение:

Видим здесь типичное однородное неравенство:   и   – это неизвестные, а сумма их степеней в каждом слагаемом равна  .

Но, прежде чем разделить на   и получить квадратное неравенство относительно  , мы должны рассмотреть случай, когда  . В этом случае неравенство примет вид:  , значит,   – решение неравенства при  .

А теперь пусть  , тогда и  , и на него можно смело делить:

 

 

Замена  :

 .

Обратная замена:  

Ответ:

  при  ;

  при  

  при  

Чаще всего однородные неравенства нам попадаются среди показательных. Помнишь, как они решаются? Чтобы их вспомнить, посмотри тему «Показательные неравенства».

Пример:

 .

Неужели это простое неравенство так сложно называется – однородное?

Да, однородные неравенства чаще всего довольно простые. Действительно, здесь в качестве переменных  , и в каждом слагаемом сумма их степеней одинакова:  .

Итак, на что делим?

 .

Как видим, в показательных неравенствах ничего дополнительно проверять не нужно – все и так всегда строго положительно.

Еще примеры (попробуй решить сам):

1.  
2.  
3.  

Если примеры совсем не даются, повтори темы «Квадратные неравенства» и «Показательные неравенства».

Решения:

1)  

 

 

 

2)  

 

 

 

 .

Ответ:  .

3)  

 

 

Ответ:

 .