Однородные неравенства. Начальный уровень.

Что такое однородное неравенство

Однородным называется неравенство вида  (вместо знака   может стоять любой знак неравенства), с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных.

Если ты читал раздел «Однородные уравнения», то должен заметить, что определение неравенства, точно такое же, как и уравнения, за исключением другого знака (  вместо  ). Если не читал, то рекомендуем тебе прочитать этот раздел – в нем ты найдешь много полезного для решения однородных неравенств.

Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты:

• В неравенстве должно быть две переменные (предположим,   и  ), возведенные в одинаковую степень (предположим  ). Т.е.  ,  ;
• В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна  . Т.е. в неравенстве ты должен увидеть   - сумма их степеней равна  ;
• При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе  ). Например,  ;
• Должен присутствовать знак неравенства -  .

Допустим у нас будет  .

Вот мы и получили простое однородное неравенство:

 

Теперь давай попробуем его решить.

Пример 1.

При каких значениях  , верно неравенство:

 

Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).

Для решения нам нужно разделить неравенство на  . Но как ты помнишь, здесь есть нюанс – на ноль делить нельзя. Поэтому давай отдельно рассмотрим случай когда  , т.е.  :

 

 

 

Но   не может быть отрицательным, а значит  , так как в этом случае нет решений. Можно смело делить:

 

 

Произведем замену   и решим простое квадратное неравенство:

 

Найдем корни уравнения  :

 

 

Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент   при  ):

Таким образом,  . Произведем обратную замену:

 

 

Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи   будет меньше, чем  , – а значит ответ записан корректно.

При отрицательном  , наоборот,   будет больше, чем  . То есть:

При  

Ответ:
При  : 
При  :  

Показательные однородные неравенства.

Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.

Давай рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.

Решите неравенство  

Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде   и  ) и суммах их степеней в каждом слагаемом равна  .

Разделим все на  . Важно заметить, что в показательных однородных неравенствах можно смело делить на на переменную, ведь она всегда строго больше   (  при любом   будет больше  ).

 

А теперь все совсем просто. Представим  , как   и найдем  :

 

Ответ:  

Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.

Пример 3.

Решите неравенство  

Заметим, что  . Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим все на   (можно делить и на   - сделай самостоятельно):

 

Произведем замену   и решим квадратное неравенство:
 .
Найдем корни уравнения  :

 

Отметим на прямой точки   и   и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент   при   больше  ):

С учетом ОДЗ ( ) -  . Произведем обратную замену:
 
Поскольку   при любом  , получаем ответ:

Ответ:  

Пример 4.

Решите неравенство   Заметим, что  , а  . Таким образом, перед нами однородное неравенство. Разделим его на  :
 
Произведем замену   и решим квадратное неравенство:
 .
Найдем корни уравнения  :
 
Отметим на прямой точки   и   и расставим знаки (ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент   при   больше  ): 
Таким образом,  
Произведем обратную замену:  
Поскольку основание  , то при избавлении от дробинего, мы меняем знаки неравенства:  

Ответ:  

Задания для самостоятельного решения.

А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.

1.  
2.  
3.  

Ответы:

1.  
2.  
3.