Однородные неравенства. Исчерпывающий гид (2020)
Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».
Что такое однородное неравенство
Однородным называется неравенство вида |
Если ты читал раздел «Однородные уравнения», то должен заметить, что определение неравенства, точно такое же, как и уравнения, за исключением другого знака (
Не будем надолго останавливаться на определении, повторим лишь основные моменты:
- В неравенстве должно быть две переменные (предположим,
- В неравенстве должно присутствовать произведение этих переменных, при этом сумма степеней должна быть такой же, как и у каждой переменной в отдельности. В нашем примере эта степень равна
- При каждом из слагаемых могут быть некоторые коэффициенты (в том числе
- Должен присутствовать знак неравенства -
Допустим у нас будет
Вот мы и получили простое однородное неравенство:
Теперь давай попробуем его решить.
Пример 1.
При каких значениях
Принцип решения такой же, как и у однородных уравнений – свести все к простому квадратному неравенству, и решить его (Повтори как решать «Квадратные неравенства»).
Для решения нам нужно разделить неравенство на
Но
Произведем замену
Найдем корни уравнения
Отметим точки на прямой, и расставим знаки, учитывая, что ветви параболы направлены вниз (коэффициент
Таким образом,
Поскольку y может быть как положительным, так и отрицательным, то нужно учесть это в ответе. При положительном у, значениеи
При отрицательном
При
Ответ:
При
При
Показательные однородные неравенства.
Чаще всего однородные неравенства бывают показательными. Если ты забыл, как решаются показательные неравенства, повтори соответствующий раздел теории.
Давай рассмотрим несколько примеров.
Пример 2.
Решите неравенство
Да-да! Это тоже однородное неравенство. Есть две переменных переменные (в виде
Разделим все на
А теперь все совсем просто. Представим
Ответ:
Рассмотрим еще несколько стандартных примеров, часто встречающихся в ЕГЭ.
Пример 3.
Решите неравенство
Заметим, что
Произведем замену
Найдем корни уравнения
Отметим на прямой точки
С учетом ОДЗ (
Поскольку
Ответ:
Пример 4.
Решите неравенство
Произведем замену
Найдем корни уравнения
Отметим на прямой точки
Таким образом,
Произведем обратную замену:
Поскольку основание
Ответ:
Задания для самостоятельного решения.
А теперь несколько заданий для самостоятельного решения.
Ответы:
ОДНОРОДНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Рассмотрим неравенство с параметром:
Его мы сможем решить с помощью метода интервалов, если разложим левую часть на множители. Но как это сделать? Заметим, что если поделить каждое слагаемое на
Сделав замену
Обратная замена:
Такие неравенства называются однородными.
Однородным называется неравенство вида: (вместо знака |
То есть, это неравенство с двумя неизвестными, в каждом слагаемом которого одинаковая сумма степеней этих неизвестных. Например, в примере выше эта сумма равна
и последующей заменой переменных:
Ты заметил ошибку в моих рассуждениях? Ведь нельзя просто так взять и поделить неравенство на переменную! Она (переменная) может оказаться отрицательной или нулевой.
Поэтому всегда нужно специально проверять, можно ли это сделать.
Чаще всего нам будут встречаться неравенства второй степени (то есть квадратные), тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:
Отметим также, что эта переменная не может быть равна нулю. В случаях, когда это не очевидно, необходимо отдельно проверять случай когда эта переменная равна нулю. Например:
Решите неравенство
Решение:
Видим здесь типичное однородное неравенство:
Но, прежде чем разделить на
А теперь пусть
Замена
Обратная замена:
Ответ:
Чаще всего однородные неравенства нам попадаются среди показательных. Помнишь, как они решаются? Чтобы их вспомнить, посмотри тему «Показательные неравенства».
Пример:
Неужели это простое неравенство так сложно называется – однородное?
Да, однородные неравенства чаще всего довольно простые. Действительно, здесь в качестве переменных
Итак, на что делим?
Как видим, в показательных неравенствах ничего дополнительно проверять не нужно – все и так всегда строго положительно.
Еще примеры (попробуй решить сам):
Если примеры совсем не даются, повтори темы «Квадратные неравенства» и «Показательные неравенства».
Решения:
1)
2)
Ответ:
3)
Ответ:
ОДНОРОДНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КОРОТКО О ГЛАВНОМ
Однородное неравенство - это неравенство вида:
(вместо
Алгоритм решения:
- Проверить что одна из переменных не отрицательна и не равна нулю;
- Разделить неравенство на эту переменную
- Сделать замену дробной переменной
- Сделать обратную замену.
Чаще всего будут встречаться неравенства второй степени, тогда делить придется на переменную в квадрате, а она заведомо неотрицательна:
ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER
Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:
ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!
Комментарии
В самом последнем примере для самостоятельного решения у вас неправильный ответ
В первом примере в ответе написано "При y<0: 2,5≤x≤−y", а разве не должно быть "2,5y≤x≤−y"?
ответить