Построение графика квадратичной функции. Визуальный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое квадратичная функция, и с чем ее едят. Если ты считаешь себя профи по части квадратичных функций, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему «Квадратичная функция».

Начнем с небольшой проверки:

  1. Как выглядит квадратичная функция в общем виде (формула)?
  2. Как называется график квадратичной функции?
  3. Как влияет старший коэффициент на график квадратичной функции?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по ссылке.

Итак, ты уже умеешь обращаться с квадратичной функцией, анализировать ее график и строить график по точкам.

Ну что же, вот она:  .

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

  1. Старший коэффициент   отвечает за «крутизну» параболы, или, по-другому, за ее ширину: чем больше  , тем парабола у́же (круче), а чем   меньше, тем парабола шире (более пологая).
  2. Свободный член   – это координата пересечения параболы с осью ординат.
  3. А коэффициент   каким-то образом отвечает за смещение параболы от центра координат. Вот об этом сейчас подробнее.

С чего мы всегда начинаем строить параболу? Какая у нее есть отличительная точка?

Это вершина. А как найти координаты вершины, помнишь?

Абсцисса ищется по такой формуле:

 .

Вот так: чем больше  , тем левее смещается вершина параболы.

Ординату вершины можно найти, подставив   в функцию:

 .

Подставь сам и посчитай. Что получилось?

Если сделать все правильно и максимально упростить полученное выражение, получится:

 .

Получается, что чем   больше по модулю, тем выше будет вершина параболы.

Перейдем, наконец, к построению графика.
Самый простой способ – строить параболу, начиная с вершины.

Пример:

Построить график функции  .

Решение:

Для начала определим коэффициенты:  .

Теперь вычислим координаты вершины:

 

 

А теперь вспоминаем: все параболы с одинаковым старшим коэффициентом выглядят одинаково. Значит, если мы построим параболу   и переместим ее вершиной в точку  , получится нужный нам график:

Построение графика квадратичной функции y=1/2x^2+2x−1

Просто, правда?

Остается только один вопрос: как быстро рисовать параболу? Даже если мы рисуем параболу с вершиной в начале координат, все равно приходится строить ее по точкам, а это долго и неудобно. А ведь все параболы выглядят одинаково, может, есть способ ускорить их рисование?

Когда я учился в школе, учительница математики сказала всем вырезать из картона трафарет в форме параболы, чтобы быстро ее чертить. Но с трафаретом везде ходить не получится, да и на экзамен его взять не разрешат. Значит, не будем пользоваться посторонними предметами, а будем искать закономерность.

Рассмотрим простейшую параболу  . Построим ее по   точкам:

Построение графика квадратичной функции y=x^2

Закономерность здесь такая. Если из вершины сместиться вправо (вдоль оси  ) на  , и вверх (вдоль оси  ) на  , то попадем в точку параболы. Дальше: если из этой точки сместиться вправо на   и вверх на  , снова попадем в точку параболы. Дальше: вправо на   и вверх на  . Дальше что? Вправо на   и вверх на  . И так далее: смещаемся на   вправо, и на следующее нечетное число вверх. То же самое потом проделываем с левой веткой (ведь парабола симметрична, то есть ее ветви выглядят одинаково):

симметричная парабола

Отлично, это поможет построить из вершины любую параболу со старшим коэффициентом, равным  . Например, нам стало известно, что вершина параболы находится в точке  . Построй (самостоятельно, на бумаге) эту параболу.

Построил?

Должно получиться так:

Построение графика квадратичной функции по точкам

Теперь соединяем полученные точки:

Построение графика квадратичной функции по точкам рис. 2

Вот и все.

ОК, ну что же, теперь строить только параболы с  ?

Конечно, нет. Сейчас разберемся, что с ними делать, если  .

Рассмотрим несколько типичных случаев.

  1.  .

    То есть функция выглядит как  . Ну что же здесь сложного? Просто переворачиваем параболу рогами вниз, и все.То есть, теперь будем двигаться так:

    •   вправо –  вниз
    •   вправо –  вниз
    •   вправо –    вниз
    • и т.д.

    И то же самое, только влево:
    Построение графика квадратичной функции ветви вниз

  2.  .

    Что делать, если, например,  ?Все просто: начинаем так же:   вправо, но когда дело доходит до «вверх», любое число увеличиваем в   раза:

    •   вправо –   вверх
    •   вправо –   вверх
    •   вправо –   вверх
    • и т.д.

    Аналогично в случае  :

    •   вправо –   вниз
    •   вправо –   вниз
    •   вправо –   вниз
    • и т.д.

    В общем случае так:

    •   вправо –   вверх
    •   вправо –   вверх
    •   вправо –   вверх
    • и т.д.

    Если  , то вместо «вверх» делаем «вниз».

  3. А если  ?
    Принцип тот же: каждый шаг вправо или влево сопровождается шагом вверх или вниз, равным какому-то нечетному числу, умноженному на  . Но отмерять нецелые (дробные) отрезки всегда лень. Поэтому иногда удобнее сделать по-другому: шаг вправо или влево делать не  , а  . Тогда вверх/вниз придется смещаться на целые  ,  ,  ,  , … клеток.

    Например: построим график  . Будем откладывать:

    • вправо   – вниз  
    • вправо   – вниз  
    • вправо   – вниз  

    и затем то же самое влево.

    Построение графика квадратичной функции y=−1/3x^2

Отлично, параболу рисовать научились, давай теперь потренируемся на настоящих функциях.

Итак, нарисуй графики таких функций:

  1.  
  2.  
  3.  
  4.  

Ответы:

1.  :

Построение графика параболы рис.1

2.  

Построение графика параболы рис.2

3. Вершина:  .

Помнишь, что делать, если старший коэффициент меньше  ?

Смотрим на знаменатель дроби: он равен  . Значит, будем двигаться так:

  •   вправо –   вверх
  •   вправо –   вверх
  •   вправо –   вверх

и так же влево:

Построение графика параболы рис.3

4. Вершина:  .

Ой, а что с этим делать? Как отмерять клетки, если вершина где-то между линиями?..

А мы схитрим. Нарисуем сперва параболу, а уже потом переместим ее вершиной в точку  . Даже нет, поступим еще хитрее: Нарисуем параболу, а потом переместим оси:   – на   вниз, а   – на   вправо:

Построение графика параболы рис.4

Этот прием очень удобен в случае любой параболы, запомни его.

Рассмотрим еще один способ записи квадратичной функции: выделение полного квадрата. Этот способ был подробно описан в теме «Квадратные уравнения».

Напомню, что мы можем представить функцию   в таком виде:

 .

Например:  .

Или:  .

Что это нам дает?

Дело в том, что число, которое вычитается из   в скобках ( ) – это абсцисса вершины параболы, а слагаемое за скобками ( ) – ордината вершины.

Это значит, что, построив параболу  , нужно будет просто сместить ось   на   влево и ось   на   вниз.

Пример: построим график функции  .

Выделим полный квадрат:

 .

Какое число вычитается из   в скобках? Это   (а не  , как можно решить не подумав).

Итак, строим параболу  :

Построение графика параболы рис.5

Теперь смещаем ось   на   вниз, то есть на   вверх:

Построение графика параболы рис.6

А теперь –   на  влево, то есть на   вправо:

Построение графика параболы рис.7

Вот и все. Это то же самое, как переместить параболу   вершиной из начала координат в точку  , только прямые ось двигать намного легче, чем кривую параболу.

Теперь, как обычно, сам:

  1.  
  2.  

И не забывай стирать ластиком старые оси!

Я в качестве ответов для проверки напишу тебе ординаты вершин этих парабол:

  1.  ;
  2.  .

Все сошлось?

Если да, то ты молодец! Уметь обращаться с параболой – очень важно и полезно, и здесь мы выяснили, что это совсем не трудно.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Квадратичная функция - функция вида  , где    и   ­– любые числа (коэффициенты),   – свободный член.

График квадратичной функции - парабола.

  • Если коэффициент  , ветви параболы направлены вниз, если   - ветви параболы направлены вверх.
  • Чем больше значение   (по модулю), тем у́же становится парабола (ветви становятся более крутыми). И наоборот, чем меньше  , тем парабола шире.

Вершина параболы: 
 , т.е. чем больше \displaystyle b, тем левее смещается вершина параболы.
Подставляем   в функцию  , и получаем:
 , т.е. чем \displaystyle b больше по модулю, тем выше будет вершина параболы

Свободный член   – это координата пересечения параболы с осью ординат.

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Добрые человек
27 октября 2017

Хороший сайт,очень удобно и понятно ,спасибо вам)

ответить

Александр (админ)
27 октября 2017

И вам, Добрый человек, спасибо на добром слове :)

ответить

Светлана
14 ноября 2017

Спасибо. Всё встало на свои места. А как на счёт остальных функций?

ответить

Александр (админ)
15 ноября 2017

Спасибо, Светлана. Рады помочь. По остальным функциям... пока то, что есть.

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть