26 июля

0 comments

Построение графика обратной зависимости – гиперболы (ЕГЭ – 2021)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость.

Давай проверим? Ответь быстро на эти вопросы:

  • Что такое обратная пропорциональность?
  • Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?
  • Как называется график такой функции?

Если что-то из этого забыл, просмотри сначала вот эти темы:

Когда по этим темам все будет понятно, читай далее.

Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.

Напоминаю: обратная зависимость в общем виде задается функцией

\( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}+b\), \( k\ne 0\).

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика.

Чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график.

- если \( \displaystyle k>0\), то ветви гиперболы расположены в \( \displaystyle I\) и \( \displaystyle III\) четвертях.

- если \( \displaystyle k<0\), то во \( \displaystyle II\) и \( \displaystyle IV\).

Дальше – число \( \displaystyle a\).

Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что \( \displaystyle a\) – это такое число, которому не может равняться \( \displaystyle x\).

То есть \( x=a\) – это вертикальная асимптота, то есть вертикаль, к которой стремится график (на рисунке выше↑ такой вертикалью является ось \( \displaystyle Oy\)):

ОК, осталось еще одно число: \( \displaystyle b\).

C ним все еще проще: если у нас уже есть гипербола \( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}\) (например, как на рисунке выше↑), а мы хотим гиперболу \( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}+b\), то получается, что ордината каждой точки графика должны стать больше на \( \displaystyle b\)

То есть нужно просто весь график сместить вверх на \( \displaystyle b\):

Как видим, теперь график стремится по горизонтали к прямой \( y=2\) вместо оси \( Ox\), как было раньше.

Такая прямая называется горизонтальной асимптотой.

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу – \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\).

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу \( \displaystyle y=\frac{3}{x}\).

Составим таблицу из \( 4\) точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

\( x\)

\( \frac{1}{2}\)

\( \displaystyle 1\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle 6\)

\( y\)

\( \displaystyle 6\)

\( \displaystyle 3\)

\( \displaystyle 1\)

\( \frac{1}{2}\)

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы.

Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат:

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь?

Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы. Вот:

Еще один полезный факт.

Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны \( \sqrt{k}\) для правой ветви гиперболы, и \( -\sqrt{k}\) для левой.

Для функций, у которых \( k\) – точный квадрат (например, \( 1\), \( 4\) или \( \displaystyle \frac{1}{4}\)), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить.

В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции \( \displaystyle y=\frac{4}{x}\)

Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви.

Точка симметрии: \( \displaystyle x=y=2\). Выберем еще одну точку, например, \( \displaystyle x=1\), \( \displaystyle y=4\). У третьей точки координаты будут наоборот: \( \displaystyle x=4\), \( \displaystyle y=1\).

Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если \( \displaystyle k<0\)?

Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным \( \displaystyle k\), то нужно просто отразить его относительно оси \( \displaystyle Ox\)

То есть правая ветвь теперь будет ниже оси \( \displaystyle Ox\) (в \( \displaystyle IV\) четверти), а левая – выше (в \( \displaystyle III\) четверти).

Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили в один алгоритм:

Алгоритм построения графика функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}+b\)

  1. 1
    Определяем коэффициенты \( \displaystyle k\), \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).
  2. 2
    Строим график функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
  3. 3
    График должен быть сдвинут вправо на \( \displaystyle a\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \( \displaystyle Oy\) сдвигаем влево на \( \displaystyle a\).
  4. 4
    График должен быть сдвинут вверх на \( \displaystyle b\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \( \displaystyle Ox\) сдвигаем вниз на \( \displaystyle b\).
  5. 5
    Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Примеры

  1. 1
    \( \displaystyle y=\frac{2}{x-1}+1\)
  2. 2
    \( \displaystyle y=\frac{1}{2-x}-1\)
  3. 3
    \( \displaystyle y=\frac{2}{2-3x}+2\)
  4. 4
    \( \displaystyle y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}\)
  5. 5
    \( \displaystyle y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}\)
  6. 6
    \( \displaystyle y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1\)

Решения

Пример 1. Пойдем по порядку по пунктам.

1) \( \displaystyle k=2\); \( \displaystyle a=1\); \( \displaystyle b=1\)

2) \( \displaystyle y=\frac{2}{x}\):

3), 4) и 5):

Пример 2. Сначала преобразуем выражение:

\( \displaystyle y=\frac{1}{2-x}-1=\frac{-1}{x-2}-1\).

Теперь ясно, что \( \displaystyle k=-1\); \( \displaystyle a=2\); \( \displaystyle b=-1\):

Пример 3.

\( \displaystyle y=\frac{2}{2-3x}+2=\frac{-2}{3{x}-2}+2=\frac{-2}{3\left( x-\frac{2}{3} \right)}+2=\frac{-\frac{2}{3}}{x-\frac{2}{3}}+2\).

\( \displaystyle k=-\frac{2}{3}\); \( a=\frac{2}{3}\); \( b=2\):

Пример 4.

\( \displaystyle y=\frac{x-3}{{{x}^{2}}-9}=\frac{x-3}{\left( x-3 \right)\left( x+3 \right)}=\frac{1}{x+3},\text{ }x\ne 3\).

\( k=1\), \( a=-3\), \( b=0\). Дополнительное условие \( x\ne 3\) означает, что на графике появится выколотая точка c абсциссой \( x=3\):

Пример 5.

\( \displaystyle y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}\).

Ты уже, наверное, догадался, что вместо того, чтобы смотреть на эту функцию квадратными глазами и говорить «Что это?!», нужно просто взять и упростить выражение. Если не знаешь, как это делать, то тебе прямая дорога в тему «Преобразование выражений». Да-да, прямо сейчас, все бросай и переходи по ссылке!

Итак, если ты уже усвоил тему «Преобразование выражений», то тебе не составит труда упростить нашу функцию. Вот что должно получиться:

\( \displaystyle y=1-\frac{2{x}-5}{4{{x}^{2}}-4{x}-15}=1-\frac{1}{2x+3}=\frac{-\frac{1}{2}}{x+\frac{3}{2}}+1,\text{ }x\ne \frac{5}{2}\).

\( \displaystyle k=-\frac{1}{2}\), \( \displaystyle a=-\frac{3}{2}\), \( b=1\), выколотая точка \( \displaystyle x\ne \frac{5}{2}\):

Пример 6. \( \displaystyle y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1\).

Здесь нужно не то чтобы упростить, тут нужно привести выражение к виду обратной зависимости.

Мы такие штуки делали в теме «Обратная зависимость»:

\( \displaystyle y=\frac{2{x}-1}{x+3}+1=\frac{2x+6-6-1}{x+3}+1=\frac{2\left( x+3 \right)-7}{x+3}+1=\)

\( \displaystyle =\frac{2\left( x+3 \right)}{x+3}-\frac{7}{x+3}+1=2-\frac{7}{x+3}+1\)

\( \displaystyle y=-\frac{7}{x+3}+3\):

Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.

Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону.

И коэффициенты не связаны друг с другом.

Определение

Функция, описывающая обратную зависимость – это функция вида \( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}+b \), где \( k\ne 0\).

График обратной зависимости  гипербола.

Коэффициенты \( \displaystyle k\), \( {a}\) и \( b\).

\( \displaystyle k\) – отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок).

Знак коэффициента \( \displaystyle k\) влияет на то, в каких четвертях расположен график.

Правило построения графика функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x-a}+b\):

  1. 1
    Определяем коэффициенты \( \displaystyle k\), \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\).
  2. 2
    Строим график функции \( \displaystyle y=\frac{k}{x}\) (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).
  3. 3
    График должен быть сдвинут вправо на \( \displaystyle a\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \( \displaystyle Oy\) сдвигаем влево на \( \displaystyle a\).
  4. 4
    График должен быть сдвинут вверх на \( \displaystyle b\). Но проще двигать не график, а оси, так что ось \( \displaystyle Ox\) сдвигаем вниз на \( \displaystyle b\).
  5. 5
    Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 2) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Теперь твой черед!

Поздравляю! Ты разблокировал достижение "Мастер гиперболы"! 🙂

Теперь ты знаешь все о построении графика обратной зависимости! С каждым разом твой график будет выглядеть все лучше, поверь! Это дело практики!

А теперь мы хотим услышать тебя. Напиши в комментариях ниже, что думаешь об этой статье!

Понравилась ли тебе она? Все ли было достаточно подробно?

Если у тебя остались вопросы, задай их! Разберемся!

А также пиши свои предложения, если они есть.

Мы читаем все и обязательно ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>