29 июля

0 comments

Алгоритмы решения практических задач (ЕГЭ – 2021)

Эта статья поможет тебе научиться решать задачи №1 и №10 на ЕГЭ.

Задача №1 – это так называемая прикладная задача или задача с физическим содержанием. По названию понятно, что умение решать такие задачи пригодиться в жизни.

Задача №10 – это задача на понимание математических моделей.

Что такое математическая модель?

Это когда громоздкое текстовое описание задачи заменяют цифрами и арифметическими знаками. И в результате получается какое-нибудь уравнение.

Такая запись значительно упрощает решение задачи и позволяет избежать ошибок.

Читай эту статью и во всём разберешься!

  1. 1
    Нужно выделить математическое содержание из словесного описания задачи.
  2. 2
    Исходя из общей, житейской логики, проверить правильность решения.

Давай посмотрим на примере.

Пример №1

Шоколадка стоит \( \displaystyle 28\) рублей. Какое наибольшее количество шоколадок можно купить на \( \displaystyle 160\) рублей.

Решение:

1. Всего у нас есть \( \displaystyle 160\) рублей. На \( \displaystyle 28\) рублей можно купить \( \displaystyle 1\) шоколадку. А на \( \displaystyle 160\) рублей - \( \displaystyle \frac{160}{28}=5,714\) шоколадки.

2. А теперь подумаем, можно ли купить \( \displaystyle 5,714\) шоколадки? Конечно же нет! Можно купить или \( \displaystyle 5\) или \( \displaystyle 6\) шоколадок. Очевидно, что нам хватит денег только на \( \displaystyle 5\), ведь \( \displaystyle 6\) шоколадок будут стоить - \( \displaystyle 6\cdot 28=168\). А у нас есть только \( \displaystyle 160\).

Ответ: \( \displaystyle 5\).

Это был совсем простой пример. Теперь давай посмотрим более реалистичные задачи.

Пример №2

Булка хлеба стоит \( \displaystyle 20\) рублей. Какое максимальное количество булок хлеба можно купить на \( \displaystyle 150\) рублей, после повышения цены хлеба на \( \displaystyle 10\)%?

Решение:

1. Итак:

а) Сколько мы можем купить хлеба? Наша сумма (\( \displaystyle 150\) рублей), деленная на цену хлеба. Но цена изменилась. Давай найдем новую цену.

б) Произошло повышение на \( \displaystyle 10\)%. А чему равняется \( \displaystyle 1\) процент от старой цены (\( \displaystyle 20\) рублей)? Процент – это сотая доля числа, а значит \( \displaystyle 1\) процент = \( \displaystyle \frac{20}{100}=0,2\). А \( \displaystyle 10\) таких процентов? Правильно, десять умножить на \( \displaystyle 1\) процент: \( \displaystyle 0,2\cdot 10=2\). Значит, цена увеличилась на \( \displaystyle 2\) рубля и стала составлять \( \displaystyle 20+2=22\) рубля.

в) Теперь находим максимальное количество булок хлеба: \( \displaystyle \frac{150}{22}=6,8181\).

2. Можно ли купить \( \displaystyle 6,8181\) булок хлеба? Нет. Или \( \displaystyle 6\) или \( \displaystyle 7\). Денег на \( \displaystyle 7\) булок нам не хватит (\( \displaystyle 7\cdot 22=154\) рубля). Значит ответ \( \displaystyle 6\).

Ответ: \( \displaystyle 6\).

Если тебе не совсем понятен пункт 1. б) – повтори раздел «Дроби, проценты, рациональные числа».

Попробуй решить несколько похожих задач самостоятельно.

  1. 1
    Оптовая цена футболки \( \displaystyle 80\) рублей. Розничная цена на \( \displaystyle 80\)% выше оптовой. Какое наибольшее число футболок можно купить по розничной цене на \( \displaystyle 1500\) рублей?
  2. 2
    Магазин покупает саженцы розы по оптовой цене \( \displaystyle 100\) рублей за штуку и продает с наценкой \( \displaystyle 15\)%. Какое наибольшее количество саженцев можно купить в этом магазине на \( \displaystyle 500\) рублей?
  3. 3
    Футболка стоит \( \displaystyle 200\) руб. Какое наибольшее количество футболок можно купить на \( \displaystyle 1500\) рублей во время распродажи с учетом \( \displaystyle 20\)% скидки.

Ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

  1. 1
    \( \displaystyle 10\)
  2. 2
    \( \displaystyle 4\)
  3. 3
    \( \displaystyle 9\)

Хватит покупок. Теперь давай рассмотрим задачи чуть-чуть сложнее.

Пример №3

Больному ангиной необходимо пить \( \displaystyle 1\) столовую ложку сиропа \( \displaystyle 4\) раза в день. В одной ложке содержится \( \displaystyle 15\) мл лекарства, которое необходимо принимать в течение \( \displaystyle 2\) недель.

Сироп продается в бутылочках по \( \displaystyle 200\) мл. Какого наименьшего количества бутылочек хватит на весь курс лечения?

Решение:

Ух… Сироп, лекарство, бутылочки… С какой стороны подступить… Давай начнем с начала.

1. Выделяем математическое содержание из словесного описания.
«\( \displaystyle 1\) столовая ложка сиропа \( \displaystyle 4\) раза в день». То есть \( \displaystyle 4\) ложки в день. «В одной ложке \( \displaystyle 15\) мл лекарства».

Значит на \( \displaystyle 1\) день нам нужно \( \displaystyle 15\cdot 4=60\) мл лекарства.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

«Курс длится \( \displaystyle 2\) недели», или \( \displaystyle 14\) дней. Значит на весь курс нужно \( \displaystyle 60\cdot 14=840\) мл лекарства. Вот теперь уже все ясно. Посчитаем количество бутылочек:

\( \displaystyle \frac{840}{200} = 4,2\)

2. \( \displaystyle 4\) или \( \displaystyle 5\) бутылочек? Очевидно, что \( \displaystyle 4\) нам не хватит (ведь в них только \( \displaystyle 800\) мл лекарства). Значит нужно покупать \( \displaystyle 5\) бутылочек.

Ответ: \( \displaystyle 5\).

Пример 4

Одного рулона обоев хватает для поклейки полосы от пола до потолка шириной \( \displaystyle 1,2\) м. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки прямоугольной комнаты размерами \( \displaystyle 3,6\) м на \( \displaystyle 4,8\) м?

Решение:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

1. Одного рулона нам хватит на \( \displaystyle 1,2\) метра. Значит нужно посчитать, сколько таких метров нужно на всю комнату (найти периметр комнаты): \( \displaystyle 3,6\cdot 2+4,8\cdot 2=16,8\) м.

2. А теперь найдем количество рулонов обоев: \( \displaystyle \frac{16,8}{1,2}=14\).

Ответ: \( \displaystyle 14\).

Ну и последний типичный пример.

Пример 5

Алеша вылетает на самолете из Москвы в Пекин в \( \displaystyle 19:20\) и прибывает в \( \displaystyle 3:50\) по московскому времени. Сколько часов длится полет?

Решение:

Простая и житейская задача. А как можно посчитать? Можно воспользоваться двумя самыми простыми способами.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Способ 1

Длительность перелета можно посчитать путем сложения количества часов полета до \( \displaystyle 00:00\) и после \( \displaystyle 00:00\).

Тогда из \( \displaystyle 24\) часов вычтем \( \displaystyle 19\) часов \( \displaystyle 20\) минут и получим \( \displaystyle 4\) часа \( \displaystyle 40\) минут.

т.е. до полуночи полет длился \( \displaystyle 4\) часа \( \displaystyle 40\) минут. После полуночи полет длился \( \displaystyle 3\) часа \( \displaystyle 50\) минут.

Сначала сложим часы \( \displaystyle 4+3=7\) часов.

Затем минуты \( \displaystyle 40+50=90\) минут, что эквивалентно \( \displaystyle 1\) часу и \( \displaystyle 30\) минутам.

\( \displaystyle 7\) часов + \( \displaystyle 1\) час \( \displaystyle 30\) минут = \( \displaystyle 8\) часов \( \displaystyle 30\) минут – длительность перелета из Москвы в Пекин.

Способ 2

Альтернативный вариант. Изобразим на картинке указанный промежуток полета зеленым цветом.

И теперь ясно, что найти искомый промежуток времени можно, если из \( \displaystyle 24\) часов вычесть время вне полета (ту часть временной шкалы, которая закрашена черным).

Найдем это черный промежуток: из \( \displaystyle 19\) часов \( \displaystyle 20\) минут вычтем \( \displaystyle 3\) часа \( \displaystyle 50\) минут и получим \( \displaystyle 15\) часов \( \displaystyle 30\) минут.

Теперь осталось из \( \displaystyle 24\) часов вычесть получившийся результат: \( \displaystyle 24\) часа минус \( \displaystyle 15\) часов \( \displaystyle 30\) минут = \( \displaystyle 8\) часов \( \displaystyle 30\) минут.

При записи ответа нужно помнить, что нас просили дать ответ в часах, а \( \displaystyle 30\) минут – это полчаса, или \( \displaystyle 0,5\) часа, т.е. полет длится \( \displaystyle 8,5\) часов.

Ответ: \( \displaystyle 8,5\)

Попробуй решить несколько задач самостоятельно:

  1. 1
    На кладку тротуаров расходуется \( \displaystyle 350\) плиток в день. В машину, которая поставляет плитки с завода на склад, помещается \( \displaystyle 2800\) плиток. Какое наименьшее число рейсов должна совершить машина, чтобы привезти запас на \( \displaystyle 5\) недель?
  2. 2
    Кекс стоит \( \displaystyle 45\) рублей. В субботу в кондитерской действует специальное предложение: заплатив за \( \displaystyle 2\) кекса, покупатель получает \( \displaystyle 3\) (один в подарок). Сколько кексов можно получить на \( \displaystyle 250\) рублей в субботу?
  3. 3
    Для приготовления малинового морса требуется \( \displaystyle 300\) мл варенья на \( \displaystyle 1,5\) литра кипяченой воды. Какое наименьшее количество полулитровых банок варенья необходимо для приготовления \( \displaystyle 4,5\) литров морса?
  4. 4
    В гимназии «Всезнайка» учится \( \displaystyle 1500\) учеников. Среди них \( \displaystyle 15\)% после окончания гимназии поступают в вузы родного города, а остальные – в вузы других городов. Среди уезжающих выпускников \( \displaystyle 40\)% поступает на технические специальности. Сколько уезжающих выпускников поступает на другие специальности?
  5. 5
    Самолет Москва-Пхукет отправляется в \( \displaystyle 17:40\), а прибывает в \( \displaystyle 3:10\) на следующий день (время московское). Сколько часов самолет находится в пути?
  6. 6
    Одного рулона обоев хватает для поклейки полосы от пола до потолка шириной \( \displaystyle 1,4\) м. Сколько нужно рулонов обоев для оклейки прямоугольной комнаты размерами \( \displaystyle 4,6\) м на \( \displaystyle 5,7\) м?

Ответы:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

  1. 1
    \( \displaystyle 5\)
  2. 2
    \( \displaystyle 7\)
  3. 3
    \( \displaystyle 2\)
  4. 4
    \( \displaystyle 765\)
  5. 5
    \( \displaystyle 9,5\)
  6. 6
    \( \displaystyle 15\)

Математическая модель – это представление реальной ситуации с помощью математического языка

Начнем с простого: Число \( \displaystyle a\) больше числа \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 3\). Нам нужно записать это, не используя слов, а только язык математики.

Если \( \displaystyle a\) больше \( \displaystyle b\) на \( \displaystyle 3\), то получается, что если мы из \( \displaystyle a\) вычтем \( \displaystyle b\), то останется та самая разность этих чисел равная \( \displaystyle 3\). Т.е. \( \displaystyle a-b=3\) или \( \displaystyle a-3=b\).

Суть понял?

Теперь посложнее, сейчас будет текст, который ты должен попробовать представить в виде математической модели, пока не читай, как это сделаю я, попробуй сам!

Есть четыре числа: \( \displaystyle a\), \( \displaystyle b\), \( \displaystyle c\) и \( \displaystyle d\). Произведение \( \displaystyle a\) и \( \displaystyle b\) больше произведения \( \displaystyle c\) и \( \displaystyle d\) в два раза.

Что получилось?

В виде математической модели выглядеть это будет так:

\( \displaystyle \frac{ab}{cd}=\frac{2}{1}\), т.е. произведение \( \displaystyle ab\) относится к \( \displaystyle cd\) как два к одному, но это можно еще упросить:

\( \displaystyle ab=2cd\)

Ну ладно, на простых примерах ты понял суть, я так полагаю. Переходим к полноценным задачам, в которых эти математические модели еще и решать нужно! Вот задача.

Задача 1

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время \( \displaystyle t\) падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле \( \displaystyle h=5{{t}^{2}}\), где — \( \displaystyle h\) расстояние в метрах, \( \displaystyle t\) — время падения в секундах.

До дождя время падения камешков составляло \( \displaystyle 0,5\) с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на \( \displaystyle 0,1\) с? Ответ выразите в метрах.

Решение:

О, ужас! Какие формулы, что за колодец, что происходит, что делать? Я прочел твои мысли?

Расслабься, в задачах этого типа условия бывают и пострашнее, главное помнить, что тебя в этой задаче интересуют формулы и отношения между переменными, а что все это обозначает в большинстве случаев не очень важно. Что ты тут видишь полезного?

Я лично вижу \( \displaystyle h=5{{t}^{2}}\).

Принцип решения этих задач следующий: берешь все известные величины и подставляешь. НО задумываться иногда надо!

Последовав моему первому совету, и ,подставив все известные в уравнение, получим:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle h=5\cdot {{0,5}^{2}}\)

\( \displaystyle h=1,25\)

Это я подставил время \( \displaystyle 0,5\) секунды, и нашел высоту \( \displaystyle h\), которую пролетал камень до дождя. А теперь надо посчитать после дождя и найти разницу!

Теперь прислушайся ко второму совету и задумайся, в вопросе уточняется, «на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на \( \displaystyle 0,1\) с».

Сразу надо прикинуть, тааак, после дождя уровень воды повышается, значит, время падения камня до уровня воды меньше и тут витиеватая фраза «чтобы измеряемое время изменилось» приобретает конкретный смысл: время падения не увеличивается, а сокращается на указанные \( \displaystyle 0,1\) секунды.

Это означает, что в случае броска после дождя, нам просто нужно из начального времени \( \displaystyle 0,5\) c вычесть \( \displaystyle 0,1\) с, и получим уравнение высоты, которую камень пролетит после дождя:

\( \displaystyle h=5\cdot {{0,4}^{2}}\)

\( \displaystyle h=0,8\)

Ну и наконец, чтобы найти, на сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на \( \displaystyle 0,1\) с., нужно просто вычесть из первой высоты падения вторую!

\( \displaystyle 1,25-0,8=0,45\)

Получим ответ: на \( \displaystyle 0,45\) метра.

Как видишь, ничего сложного нет, главное, особо не заморачивайся, откуда такое непонятное и порой сложное уравнение в условиях взялось и что все в нем означает, поверь на слово, большинство этих уравнений взяты из физики, а там дебри похлеще, чем в алгебре.

Мне иногда кажется, что эти задачи придуманы, чтоб запугать ученика на ЕГЭ обилием сложных формул и терминов, а в большинстве случаев не требуют почти никаких знаний. Просто внимательно читай условие и подставляй известные величины в формулу!

Вот еще задача, уже не по физике, а из мира экономической теории, хотя знаний наук кроме математики тут опять не требуется.

 

Задача 2

Зависимость объёма спроса \( \displaystyle q\) (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены \( \displaystyle p\) (тыс. руб.) задаётся формулой \( \displaystyle q=100-10p\). Выручка предприятия за месяц \( \displaystyle r\) (в тыс. руб.) вычисляется по формуле \( r(p)=q\cdot p\). Определите наибольшую цену \( \displaystyle p\), при которой месячная выручка \( \displaystyle r(p)\) составит не менее \( \displaystyle 240\) тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.

Решение:

Угадай, что сейчас сделаю? Ага, начну подставлять то, что нам известно, но, опять же, немного подумать все же придется.

Пойдем с конца, нам нужно найти \( \displaystyle p\) при котором \( \displaystyle r(p)\ge 240\). Так, \( \displaystyle 240\) есть, равно какому-то \( \displaystyle r(p)\), находим, чему еще равно это \( \displaystyle r(p)\), а равно оно \( \displaystyle q\cdot p\), так и запишем \( \displaystyle q\cdot p=240\).

Как ты видишь, я особо не заморачиваюсь о смысле всех этих величин, просто смотрю из условий, что чему равно, так тебе поступать и нужно.

Вернемся к задаче, у тебя уже есть \( \displaystyle q\cdot p=240\), но как ты помнишь из одного уравнения с двумя переменными ни одну из них не найти, что же делать? Ага, у нас еще в условии осталась неиспользованная частичка \( \displaystyle q=100-10p\).

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

 

Вот, уже два уравнения и две переменных, значит, теперь обе переменные можно найти – отлично!

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}q\cdot p=240\\q=100-10p\end{array} \right.\)– такую систему решить сможешь?

Решаем подстановкой, у нас \( \displaystyle q\) уже выражена, значит, подставим ее в первое уравнение и упростим.

Получается вот такое квадратное уравнение: \( \displaystyle {{p}^{2}}-10p+24=0\), решаем, корни вот такие:

\( \displaystyle {{p}_{1}}=6\), \( \displaystyle {{p}_{2}}=4\).

В задании требуется найти наибольшую цену \( \displaystyle p\), при которой будут соблюдаться все те условия, которые мы учли, когда систему составляли. О, оказывается это \( \displaystyle p\) было ценой. Прикольно, значит, мы нашли цены: \( \displaystyle 6\) и \( \displaystyle 4\). Наибольшую цену, говорите? Окей, наибольшая из них, очевидно \( \displaystyle 6\), ее в ответ и пишем. Ну как, сложно? Думаю, нет, и вникать не надо особо!

А вот тебе и устрашающая физика, а точнее еще одна задачка:

Задача 3

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому \( \displaystyle P=\sigma S{{T}^{4}}\), где \( \displaystyle P\) — мощность излучения звезды, \( \displaystyle \sigma =-5,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot \frac{Bт}{{{м}^{2}}\cdot {{K}^{\ 4}}}\) — постоянная, \( \displaystyle S\) — площадь поверхности звезды, а \( \displaystyle T\) — температура.

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна \( \displaystyle \frac{1}{125}\cdot {{10}^{20}}{{M}^{2}}\), а мощность её излучения равна \( \displaystyle 4,56\cdot {{10}^{26}}\)Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина.

Решение:

Жуууть! Ищем подход. Я рекомендую для начала выписать себе на бумажке все формулы, которые ты тут видишь. Я вот в таком виде записал:

\( \displaystyle P=\sigma S{{T}^{4}}\)

\( \displaystyle \sigma =-5,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot \frac{Bт}{{{м}^{2}}\cdot {{K}^{\ 4}}}\)

\( \displaystyle S=\frac{1}{125}\cdot {{10}^{20}}{{M}^{2}}\)

\( \displaystyle P=4,56\cdot {{10}^{26}}\)

\( \displaystyle T-?\)

Откуда \( \displaystyle S\) и \( \displaystyle P\) понятно? Да, в условии написано, что чему равно. Раньше я рекомендовал все неизвестные сразу подставлять, но здесь лучше сначала выразить неизвестное искомое \( \displaystyle T\).

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

Смотри как все просто: есть формула \( \displaystyle P=\sigma S{{T}^{4}}\) и в ней известны \( \displaystyle S\), \( \displaystyle P\) и \( \sigma \)(это греческая буква «сигма». Вообще, физики любят греческие буквы, привыкай).

А неизвестна температура \( \displaystyle T\). Давай выразим ее в виде формулы. Как это делать, надеюсь, знаешь? Такие задания на ГИА в 9 классе обычно дают:

.\( \displaystyle P=\sigma S{{T}^{4}}\text{ }\Rightarrow \text{ }{{T}^{4}}=\frac{P}{\sigma S}\text{ }\Rightarrow \text{ }T=\sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}}\)

Теперь осталось подставить числа вместо букв в правой части и упростить:

\( \displaystyle \begin{array}{l}T=\sqrt[4]{\frac{4,56\cdot {{10}^{26}}}{5,7\cdot {{10}^{-8}}\cdot \frac{1}{125}\cdot {{10}^{20}}}}=\sqrt[4]{\frac{4,56\cdot {{10}^{26}}}{5,7\cdot 0,008\cdot {{10}^{12}}}}=\sqrt[4]{\frac{456\cdot {{10}^{24}}}{456\cdot {{10}^{8}}}}=\\=\sqrt[4]{\frac{456\cdot {{10}^{16}}}{456}}=\sqrt[4]{{{10}^{16}}}={{10}^{4}}\end{array}\)

\( \displaystyle T=10000\)

Вот и ответ: \( \displaystyle 10000\) градусов Кельвина! А какая страшная была задача, а!

Продолжаем мучить задачки по физике.

Задача 4

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону \( \displaystyle h(t)=1,6+8t-{{t}^{2}}\), где \( \displaystyle h\) — высота в метрах, \( \displaystyle t\) — время в секундах, прошедшее с момента броска.

Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трех метров?

Решение:

То были всё уравнения, а вот здесь надо определить, сколько мяч находился на высоте не менее трех метров, это значит на высоте \( \displaystyle \ge3\). Что мы составлять будем?

Неравенство, именно! У нас есть функция, которая описывает как летит мяч, где \( \displaystyle h(t)\) – это как раз та самая высота в метрах, нам нужна высота \( \displaystyle \ge3\). Значит,

\( a\text{ }=-12,5\)

\( b=125\)

\( {{T}_{0}}=\text{ }1450\)

\( {{T}_{max}}=\text{ }1750\)

\( t\text{ }-?\)

А теперь просто решаешь неравенство, главное, не забудь поменять знак неравенства с больше либо равно на меньше, либо равно, когда будешь умножать на \( \displaystyle -1\) обе части неравенства, чтоб перед \( \displaystyle {{t}^{2}}\) от минуса избавиться.

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle 1,6+8t-5{{t}^{2}}\ge 3\)

\( \displaystyle 5{{t}^{2}}-8t+1,4\le 0\)

\( \displaystyle {{t}_{1}}=0,2\)

\( \displaystyle {{t}_{2}}=1,4\)

Вот такие корни, строим интервалы для неравенства:

Нас интересует промежуток, где знак минус, поскольку неравенство принимает там отрицательные значения, это от \( \displaystyle 0,2\) до \( \displaystyle 1,4\) оба включительно.

А теперь включаем мозг и тщательно думаем: для неравенства мы применяли уравнение, описывающее полет мяча, он так или иначе летит по параболе, т.е. он взлетает, достигает пика и падает, как понять, сколько времени он будет находиться на высоте не менее \( \displaystyle 3\) метров?

Мы нашли 2 переломные точки, т.е. момент, когда он взмывает выше \( \displaystyle 3\) метров и момент, когда он, падая, достигает этой же отметки, эти две точки выражены у нас в виде времени.

То есть мы знаем на какой секунде полета он вошел в интересующую нас зону (выше \( \displaystyle 3\) метров) и в какую вышел из нее (упал ниже отметки в \( \displaystyle 3\) метра). Сколько секунд он находился в этой зоне?

Логично, что мы берем время выхода из зоны и вычитаем из него время вхождения в эту зону. Соответственно: \( \displaystyle 1,4\text{ }-\text{ }0,2=1,2~~\) - столько он находился в зоне выше \( \displaystyle 3\) метров, это и есть ответ.

Так уж тебе повезло, что больше всего примеров по этой теме можно взять из разряда задачек по физике, так что лови еще одну, она заключительная, так что поднапрягись, осталось совсем чуть-чуть!

Задача 5

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы:

\( \displaystyle T\left( t \right)\text{ }=\text{ }{{T}_{0}}+\text{ }bt\text{ }+\text{ }a{{t}^{2}}\), где \( \displaystyle t\) — время в минутах, \( \displaystyle {{T}_{0}}=\text{ }1450\text{ }K\), \( \displaystyle a=-12,5\text{ }K/{{мин }^{2}}\), \( \displaystyle b=125\text{ }K/мин\).

Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше \( \displaystyle 1750\ K\) прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.

Решение:

Действуем по отлаженной схеме, все, что дано, сперва выписываем:

\( \displaystyle a\text{ }=-12,5\)

\( \displaystyle b=125\)

\( \displaystyle {{T}_{0}}=\text{ }1450\)

\( \displaystyle {{T}_{max}}=\text{ }1750\)

\( \displaystyle t\text{ }-?\)

Теперь берем формулу и приравниваем ее к значению температуры, до которой максимально можно нагреть прибор пока он не сгорит, то есть \( \displaystyle {{T}_{max}}\):

\( \displaystyle {{T}_{0}}+\text{ }bt\text{ }+\text{ }a{{t}^{2}}={{T}_{max}}\)

Теперь подставляем вместо букв числа там, где они известны:

Это закрытый контент 

Оставьте E-mail и получите на почту доступ к нему 

\( \displaystyle 1450+125t-12,5{{t}^{2}}=1750\)

\( \displaystyle 2,5{{t}^{2}}-25t-60=0\)

\( \displaystyle {{t}^{2}}-10t-24=0\)

\( \displaystyle {{x}_{1}}=6\)

\( \displaystyle {{x}_{2}}=4\)

Как видишь, температура при работе прибора описывается квадратным уравнением, а значит, распределяется по параболе, т.е. прибор нагревается до какой-то температуры, а потом остывает.

Мы получили ответы \( \displaystyle 4\) и \( \displaystyle 6\), следовательно, при \( \displaystyle 4\) и при \( \displaystyle 6\) минутах нагревания температура равна критической, но между \( \displaystyle 4\) и \( \displaystyle 6\) минутами - она еще выше предельной!

А значит, отключить прибор нужно через \( \displaystyle 4\) минуты.

 

Ранее эта задача называлась B4 . Сейчас она сохранилась только в базовом варианте ЕГЭ и в ОГЭ. Мы ее оставили здесь, потому что на наш взгляд, умение решать эту задачу очень важно для жизни.

Итак, требуется из нескольких вариантов, представленных для выбора, найти оптимальный.

Пример №6

Максим хочет заниматься в тренажерном зале, и у него есть выбор между пакетами услуг, предлагаемыми залом. Максим предполагает, что будет посещать зал \( \displaystyle 14\) раз в месяц. Сколько нужно заплатить Максиму за месяц занятий, если он выбирает самый дешевый вариант?

Пакет услуг

Месячный абонемент

Плата за каждое отдельное занятие сверх абонемента
(руб.)

А

нет

300

Б

10 занятий за 2800 рублей

290

В

15 занятий за 4050 рублей

280

Решение:

Для решения таких задач нужно рассмотреть и просчитать каждый вариант в отдельности, а затем выбрать тот, который отвечает условию (в нашем случае – самый дешевый).
Давай считать.

Пакет А. Здесь подразумевается плата за каждое занятие в отдельности. \( \displaystyle 14\) занятий по \( \displaystyle 300\) рублей – это \( \displaystyle 14\cdot 300=4200\) рублей.

Пакет Б. Максим приобретает \( \displaystyle 10\) занятий за \( \displaystyle 2800\) рублей, а оставшиеся \( \displaystyle 14-10=4\) занятия по \( \displaystyle 290\) рублей, т.е. за \( \displaystyle 4\cdot 290=1160\) рублей. Всего в этом случае Максим потратит \( \displaystyle 2800+1160=3960~\) рублей.

Пакет В. Покупается \( \displaystyle 15\) занятий за \( \displaystyle 4050\) рублей. Одно занятие в итоге сгорает.

Посчитав каждый из вариантов мы знаем, что наиболее выгодным для Максима оказался вариант Б, выбрав который, он заплатит \( \displaystyle 3960\) рублей.

Ответ: \( \displaystyle 3960\).

Видишь, ничего сложного!

Давай рассмотрим пример посложнее.

Пример №7

Независимое агенство каждый месяц определяет рейтинг развлекательных журналов на основе следующих показателей:

  • I – показатель информативности
  • R – количество рекламы
  • O – показатель объективности
  • K – качество бумаги

Рейтинг рассчитывается по формуле: \( \displaystyle R=30\left( \frac{3I-3R+5O+2K}{4}+1 \right)\).

В таблице представлены показатели четырех журналов.

Журнал

I

R

O

К

А

3

2

-2

3

Б

-1

4

2

2

В

2

1

-1

1

Г

1

0

2

0

Найдите наивысший рейтинг журнала из представленных в таблице.

Решение:

Решение ничем не отличается от предыдущей задачи. Только здесь значения из таблицы нужно подставлять в формулу.

Давай посчитаем рейтинг для журнала А.

\( \displaystyle {{R}_{a}}=30\left( \frac{3\cdot 3-3\cdot 2+5\left( -2 \right)+2\cdot 3}{4}+1 \right)=\)

\( \displaystyle =30\left( \frac{9-6-10+6}{4}+1 \right)=30\left( -0,25+1 \right)=\)

\( \displaystyle =30\cdot 0,75=22,5\)

Для остальных журналов, посчитай значения сам!

Теперь подставим полученные результаты в таблицу и посмотрим, у какого журнала наивысший рейтинг и сколько он составляет.

Журнал

I

R

O

K

Рейтинг

А

3

2

-2

3

22,5

Б

-1

4

2

2

22,5

В

2

1

-1

1

30

Г

1

0

2

0

127,5

Теперь ясно, что наивысший рейтинг \( \displaystyle 127,5\) у журнала Г.

Ответ: \( \displaystyle 127,5\).

В задачах варианты могут быть представлены и без таблицы. Давай рассмотрим такой пример.

Пример №8

Семья из трех человек планирует поехать отдыхать из Москвы в Крым (Симферополь). Можно полететь самолетом, а можно – на своей машине. Билет на самолет на одного человека стоит \( \displaystyle 4500\) рублей туда и обратно. Автомобиль расходует \( \displaystyle 10\) литров бензина на \( \displaystyle 100\) км, а цена бензина – \( \displaystyle 32,5\) рубля за \( \displaystyle 1\) литр. Расстояние от Москвы до Симферополя – \( \displaystyle 1800\) км. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую поездку на троих туда и обратно?

Решение:

Здесь нужно рассмотреть каждый вариант в отдельности и выбрать самый дешевый – прям как в задачах с таблицами!

Давай считать:

Полет на самолете. Тут все просто: \( \displaystyle 3\) человека по \( \displaystyle 4500\) рублей – это \( \displaystyle 13500\) рублей.

Поездка на машине. Туда и обратно – это \( \displaystyle 1800+1800=3600\) километров. Машина расходует \( \displaystyle 10\) литров на \( \displaystyle 100\) километров, или \( \displaystyle 100\) литров на \( \displaystyle 1000\) километров. А у нас \( \displaystyle 3,6\) тысяч километров, а значит \( \displaystyle 100\) литров умножаем на \( \displaystyle 3,6\) – \( \displaystyle 360\) литров бензина. Именно столько нам нужно, чтобы совершить поездку. Один литр стоит \( \displaystyle 32,5\) рублей, а значит общая стоимость поездки будет:

\( \displaystyle 360\cdot 32,5=11700\) рублей.

На машине ехать дешевле!

Ответ: \( \displaystyle 11700\).

А теперь задачи для самостоятельного решения.

Решай и сверяй с ответами!

Задача 1. Мобильный оператор предлагает три тарифных плана интернет-услуг, представленных в таблице.

Тарифный план

«Ноль»

«1000»

«Безлимит»

Абонентская плата
(руб.)

нет

200

500

Плата за трафик

0,7 рублей за 1 Mb

0,5 рублей за 1 Mb сверх 1000 Mb

нет

Пользователь планирует, что его трафик не будет превышать \( \displaystyle 1500\) Mb. Сколько рублей в месяц будет тратить пользователь, если выберет самый выгодный тарифный план?

Задача 2. Строительной фирме нужно приобрести \( \displaystyle 90\) кубометров строительного бруса у одного из трех поставщиков. Определите наименьшую стоимость покупки вместе с доставкой (в рублях). Цена и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик

А

Б

В

Цена бруса
(руб. за м3)

1600

1700

1800

Стоимость доставки
(руб.)

15000

6000

8000

Дополнительные условия

-

При заказе на сумму свыше 150 000 руб. – доставка бесплатно

При заказе на сумму свыше 170 000 руб. – доставка бесплатно

Задача 3. Для строительства дома можно использовать один из двух типов фундамента: бетонный и пеноблочный. Для фундамента из пеноблоков нужно \( \displaystyle 5\) кубометров пеноблоков и \( \displaystyle 2\) мешка цемента. Для бетонного фундамента необходимо \( \displaystyle 3\) тонны щебня и \( \displaystyle 35\) мешков цемента. Кубометр пеноблоков стоит \( \displaystyle 2500\) рублей, щебень стоит \( \displaystyle 1000\) рублей за тонну, а мешок цемента – \( \displaystyle 300\) рублей. Сколько рублей понадобится на покупку материала, если выбирается самый дешевый вариант?

Задача 4. На игровом сервере ведется рейтинг игроков на основе следующих показателей:

  • W – процент побед
  • K – количество боев
  • A – точность стрельбы
  • L – уровень персонажа

Рейтинг считается по формуле: \( \displaystyle R=\frac{K}{100L}+100W+50A\).

В таблице представлены показатели 4 игроков.

Журнал

А

Б

В

Г

W

0,6

0,52

0,55

0,49

K

100

100

400

3000

A

0,4

0,51

0,55

0,45

L

7

2

4

11

Найдите наивысший рейтинг, среди игроков, представленных в таблице.

Ответы:

  1. 1
    \( \displaystyle 450\)
  2. 2
    \( \displaystyle 153000\)
  3. 3
    \( \displaystyle 13100\)
  4. 4
    \( \displaystyle 83,5\)

Практические задачи (№1 в ЕГЭ)  одни из самых простых в ЕГЭ. Их еще называют задачи с физическим содержанием или прикладные задачи.

Алгоритм решения задач такой:

  1. 1
    Нужно выделить математическое содержание из словесного описания задачи.
  2. 2
    Исходя из общей, житейской логики, проверить правильность решения.

Задачи на нахождение оптимального варианта (бывшая В4) – в них требуется найди оптимальный из нескольких вариантов, представленных для выбора.

  1. 1
    Для решения таких задач нужно рассмотреть и просчитать каждый вариант в отдельности.
  2. 2
    Выбрать вариант, отвечающий условию.

Математические модели (№10 в ЕГЭ)

Чаще всего математические модели используются в физике: тебе ведь наверняка приходилось запоминать десятки физических формул.

А формула – это и есть математическое представление ситуации.

В ОГЭ и ЕГЭ есть задачи как раз на эту тему. В ЕГЭ (профильном) это задача номер 11 (бывшая B12). В ОГЭ – задача номер 20.

Содержание этих задач таково: дано описание какого-то процесса или явления, приведена соответствующая формула. Также даны значения некоторых физических величин, входящих в эту формулу.

Задание – выразить из формулы неизвестную величину и найти ее значение.

Схема решения очевидна:

1) Из текста условия необходимо «вычленить» полезную информацию – то, что в задачах по физике мы пишем под словом «Дано». Этой полезной информацией являются:

  • Формула
  • Известные физические величины

То есть каждой букве из формулы нужно поставить в соответствие определенное число.

2) Берешь все известные величины и подставляешь в формулу. Неизвестная величина так и остается в виде буквы. Теперь нужно только решить уравнение (обычно, довольно простое), и ответ готов.

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Слово лучшему ученику! (тебе :))

Ты научился решать практические задачи и работать с математическими моделями. И этот навык поможет тебе не раз!

А теперь мы хотим услышать тебя. Расскажи нам в комментариях ниже, что ты думаешь об этой статье!

Понравилось ли тебе? Было ли легко решать задачи вместе? 

А еще ты можешь задать нам любой вопрос. Или предложить свои идеи. И мы обязательно ответим тебе!

Успехов!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>