Решение уравнений и неравенств (с помощью графиков)

Многие задания, которые мы привыкли вычислять чисто алгебраически, можно решить намного легче и быстрее!

Как?

С помощью графиков функций!

Ты скажешь: «Как так? Чертить что-то, да и что чертить?» Поверь мне, иногда это удобнее и проще.

Приступим? Начнем с решения уравнений!

Решение уравнений и неравенств с помощью графиков — коротко о главном

Алгоритм решения:

Выразим ???? через ????
Определим тип функции
Построим графики получившихся функций
Найдем точки пересечения графиков
Корректно запишем ответ (с учетом ОДЗ и знаков неравенств)
Проверим ответ (подставим корни в уравнение или систему)

Более подробно о построении графиков функций смотри в теме «Функции».

Решение уравнений с помощью графиков

Решение линейных уравнений

Как ты уже знаешь, графиком линейного уравнения является прямая линия, отсюда и название данного вида.

Линейные уравнения достаточно легко решать алгебраическим путем – все неизвестные переносим в одну сторону уравнения, все, что нам известно – в другую и вуаля! Мы нашли корень.

Сейчас же я покажу тебе, как это сделать графическим способом.

Итак, у тебя есть уравнение: $\displaystyle 2{x} -10=2$

Как его решить?

Вариант 1, и самый распространенный – перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую, получаем:

$\displaystyle 2x=2+10$

$\displaystyle 2x=12$

Обычно дальше мы делим правую часть на левую, и получаем искомый корень, но мы с тобой попробуем построить левую и правую части как две различные функции в одной системе координат.

Иными словами, у нас будет:

$\displaystyle {{y}_{1}}=2x$

$\displaystyle {{y}_{2}}=12$

А теперь строим. Что у тебя получилось?

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 1

Как ты думаешь, что является корнем нашего уравнения? Правильно, координата $\displaystyle x$ точки пересечения графиков:

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 2

Наш ответ: $\displaystyle x=6$

Вот и вся премудрость графического решения. Как ты с легкостью можешь проверить, корнем нашего уравнения является число $\displaystyle 6$ !

Вариант 2

Как я говорила выше, это самый распространенный вариант, приближенный к алгебраическому решению, но можно решать и по-другому. Для рассмотрения альтернативного решения вернемся к нашему уравнению:

$\displaystyle 2{x} -10=2$

В этот раз не будем ничего переносить из стороны в сторону, а построим графики напрямую, так, как они сейчас есть:

$\displaystyle {{y}_{1}}=2{x} -10$

$\displaystyle {{y}_{2}}=2$

Построил? Смотрим!

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 3

Что является решением на этот раз? Все верно. То же самое: координата $\displaystyle x$ точки пересечения графиков:

reshenie uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 4

И снова наш ответ: $\displaystyle x=6$ .

Как ты видишь, с линейными уравнениями все предельно просто. Настало время рассмотреть что-нибудь посложнее… Например, графическое решение квадратных уравнений.

Решение квадратных уравнений

Итак, теперь приступим к решению квадратного уравнения. Допустим, тебе нужно найти корни у этого уравнения:

$\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$

Конечно, ты можешь сейчас начать считать через дискриминант, либо по теореме Виета, но многие на нервах ошибаются при умножении или возведении в квадрат, особенно, если пример с большими числами, а калькулятора, как ты знаешь, у тебя на экзамене не будет…

Поэтому давай попробуем немного расслабиться и порисовать, решая данное уравнение.

Графически найти решения данного уравнения можно различными способами. Рассмотрим различные варианты, а уже ты сам выберешь, какой больше всего тебе понравится.

Вариант 1. Напрямую

Просто строим параболу по данному уравнению: $\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$

Чтобы сделать это быстро, дам тебе одну маленькую подсказку: удобно начать построение с определения вершины параболы. Определить координаты вершины параболы помогут следующие формулы:

$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

$\displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}$

Ты скажешь «Стоп! Формула для $\displaystyle y$ очень похожа на формулу нахождения дискриминанта» да, так оно и есть, и это является огромным минусом «прямого» построения параболы, чтобы найти ее корни.

Тем не менее, давай досчитаем до конца, а потом я покажу, как это сделать намного (намного!) проще!

Посчитал? Какие координаты вершины параболы у тебя получились? Давай разбираться вместе:

$\displaystyle x=\frac{-2}{2}=-1$

$\displaystyle y=-\frac{{{2}^{2}}-4\cdot \left( -8 \right)}{4}=-\frac{4+32}{4}=-9$

Точно такой же ответ? Молодец!

И вот мы знаем уже координаты вершины, а для построения параболы нам нужно еще … точек. Как ты думаешь, сколько минимум точек нам необходимо? Правильно, $\displaystyle 3$ .

Ты знаешь, что парабола симметрична относительно своей вершины, например:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 1

Соответственно, нам необходимо еще две точки по левой или правой ветви параболы, а в дальнейшем мы эти точки симметрично отразим на противоположную сторону:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 2

Возвращаемся к нашей параболе.

Для нашего случая точка $\displaystyle A\left( -1;-9 \right)$ . Нам необходимо еще две точки, соответственно, $\displaystyle x$ можно взять положительные, а можно взять отрицательные? Какие точки тебе удобней?

Мне удобней работать с положительными, поэтому я рассчитаю при $\displaystyle x=0$ и $\displaystyle x=2$ .

При $\displaystyle x=0$ :

$\displaystyle y={{0}^{2}}+0-8=-8$

При $\displaystyle x=2$ :

$\displaystyle y={{2}^{2}}+2\cdot 2-8=0$

Теперь у нас есть три точки, и мы спокойно можем построить нашу параболу, отразив две последние точки относительно ее вершины:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 3

Как ты думаешь, что является решением уравнения?

Правильно, точки, в которых $\displaystyle y=0$ , то есть $\displaystyle x=2$ и $\displaystyle x=-4$ . Потому что $\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$ .

И если мы говорим, что $\displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8$ , то значит, что $\displaystyle y$ тоже должен быть равен $\displaystyle 0$ , или $\displaystyle y={{x}^{2}}+2{x} -8=0$ .

Просто? Это мы закончили с тобой решение уравнения сложным графическим способом, то ли еще будет!

Конечно, ты можешь проверить наш ответ алгебраическим путем – посчитаешь корни через теорему Виета или Дискриминант.

Что у тебя получилось? То же самое?

Вот видишь! Теперь посмотрим совсем простое графическое решение, уверена, оно тебе очень понравится!

Вариант 2. С разбивкой на несколько функций

Возьмем все тоже наше уравнение: $\displaystyle {{x}^{2}}+2{x} -8=0$ , но запишем его несколько по-другому, а именно:

$\displaystyle {{x}^{2}}=8-2x$

Можем мы так записать? Можем, так как преобразование равносильно. Смотрим дальше.

Построим отдельно две функции:

$\displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}$ – графиком является простая парабола, которую ты с легкостью построишь даже без определения вершины с помощью формул и составления таблицы для определения прочих точек.
$\displaystyle {{y}_{2}}=8-2x$ – графиком является прямая, которую ты так же легко построишь, прикинув значения $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ в голове, даже не прибегая к калькулятору.

Построил? Сравним с тем, что вышло у меня:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 4

Как ты считаешь, что в данном случае является корнями уравнения? Правильно! Координаты по $\displaystyle x$ , которые получились при пересечении двух графиков: $\displaystyle {{y}_{1}}={{x}^{2}}$ и $\displaystyle {{y}_{2}}=8-2x$ , то есть:

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 5

Соответственно, решением данного уравнения являются:

$\displaystyle {{x}_{1}}=2$

$\displaystyle {{x}_{2}}=-4$

Что скажешь? Согласись, этот способ решения намного легче, чем предыдущий, и даже легче, чем искать корни через дискриминант!

А если так, попробуй данным способом решить следующее уравнение.

$\displaystyle 2{{x}^{2}}-5x+3=0$

Что у тебя получилось? Сравним наши графики:

$\displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{2}}$
$\displaystyle {{y}_{2}}=5{x} -3$

reshenie kvadratnyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 6

По графикам видно, что ответами являются:

$\displaystyle {{x}_{1}}=1$

$\displaystyle {{x}_{2}}=1,5$

Справился? Молодец!

Теперь посмотрим уравнения чууууть-чуть посложнее, а именно решение смешанных уравнений, то есть уравнений, содержащих функции разного вида.

Решение смешанных уравнений

Теперь попробуем решить следующее уравнение:

$\displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0$

Конечно, можно привести все к общему знаменателю, найти корни получившегося уравнения, не забыв при этом учесть ОДЗ, но мы попробуем решить графически, как делали во всех предыдущих случаях.

В этот раз давай построим 2 следующих графика:

$\displaystyle {{y}_{1}}=\frac{3}{x}$ – графиком является гипербола
$\displaystyle {{y}_{2}}={x} -2$ – графиком является прямая, которую ты легко построишь, прикинув значения $\displaystyle x$ и $\displaystyle x$ в голове, даже не прибегая к калькулятору.

Осознал? Теперь займись построением.

Вот что вышло у меня:

reshenie smeshannyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 1

Глядя на этот рисунок, скажи, что является корнями нашего уравнения $\displaystyle \frac{3}{x}-x+2=0$ ?

Правильно, $\displaystyle {{x}_{1}}=-1$ и $\displaystyle {{x}_{2}}=3$ . Вот и подтверждение:

reshenie smeshannyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 2

Попробуй подставить наши корни в уравнение. Получилось?

При $\displaystyle {{x}_{1}}=-1:\frac{3}{-1}-\left( -1 \right)+2=-3+1+2=0$ .

При $\displaystyle {{x}_{2}}=3:\frac{3}{3}-3+2=1-3+2=0$ .

Все верно! Согласись, графически решать подобные уравнения – одно удовольствие!

Попробуй самостоятельно графическим способом решить уравнение:

$\displaystyle 2{{x}^{3}}-{x} -1=0$ .

Даю подсказку: перенеси часть уравнения в правую сторону, чтобы с обоих сторон оказались простейшие для построения функции. Намек понял? Действуй!

Теперь посмотрим, что у тебя вышло:

$\displaystyle 2{{x}^{3}}=x+1$ , соответственно:

$\displaystyle {{y}_{1}}=2{{x}^{3}}$ – кубическая парабола.
$\displaystyle {{y}_{2}}=x+1$ – обыкновенная прямая.

Ну и строим:

reshenie smeshannyh uravnenij s pomoshyu grafikov funktsij 3

Как ты уже давно у себя записал, корнем данного уравнения является $\displaystyle {{x}_{1}}=1$ .

Прорешав такое количество примеров, уверена, ты понял, как можно легко и быстро решать уравнения графическим путем. Настало время разобраться, как решать подобным способом системы.

Решение систем уравнений с помощью графиков

Графическое решение систем, по сути, ничем не отличается от графического решения уравнений.

Мы будем строить два графика, и их точки пересечения будут являться корнями данной системы.

Один график – одно уравнение, второй график – другое уравнение. Все предельно просто!

Начнем с самого простого – решение систем линейных уравнений.

Решение систем линейных уравнений

Допустим, у нас есть следующая система:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y+2x=1.\end{array} \right.$

Для начала преобразуем ее таким образом, чтобы слева было все, что связано с $\displaystyle y$ , а справа – что связано с $\displaystyle x$ . Иными словами, запишем данные уравнения как функцию в привычном для нас виде:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y=3{x} -4;\\y=1-2x.\end{array} \right.$

А теперь просто строим две прямые. Что в нашем случае является решением? Правильно! Точка их пересечения! И здесь необходимо быть очень-очень внимательным! Подумай, почему?

Намекну: мы имеем дело с системой, в системе есть и $\displaystyle x$ , и $\displaystyle y$ … Смекаешь?

Все верно! Решая систему, мы должны смотреть обе координаты, а не только $\displaystyle x$ , как при решении уравнений!

Еще один важный момент – правильно их записать и не перепутать, где у нас значение $\displaystyle x$ , а где значение $\displaystyle y$ !

Записал? Теперь давай все сравним по порядку:

graficheskoe reshenie sistem uravnenij 1

И ответы: $\displaystyle x=1$ и $\displaystyle y=-1$ . Сделай проверку – подставь найденные корни в систему и убедись, правильно ли мы ее решили графическим способом?

Все сошлось? Идем дальше!

Решение систем нелинейных уравнений

А что если вместо одной прямой, у нас будет квадратное уравнение? Да ничего страшного! Просто ты вместо прямой построишь параболу! Не веришь? Попробуй решить следующую систему:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y+x+1=0.\end{array} \right.$

Какой наш следующий шаг? Правильно, записать так, чтобы нам было удобно строить графики:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}-2{x} -3;\\y=-{x} -1.\end{array} \right.$

А теперь так вообще дело за малым – построил быстренько и вот тебе решение! Строим:

graficheskoe reshenie sistem uravnenij 2

Графики получились такими же? Теперь отметь на рисунке решения системы и грамотно запиши выявленные ответы!

Все сделал? Сравни с моими записями:

graficheskoe reshenie sistem uravnenij 3

При $\displaystyle {{x}_{1}}=-1$ , $\displaystyle {{y}_{1}}=0$ .

При $\displaystyle {{x}_{2}}=2$ , $\displaystyle {{y}_{2}}=-3$ .

Все верно? Молодец! Ты уже щелкаешь подобные задачи как орешки! А раз так, дадим тебе систему посложнее.

Решите систему уравнений: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.$

Что мы делаем? Правильно! Записываем систему так, чтобы было удобно строить:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y={{x}^{3}}+2.\end{array} \right.$

Немного тебе подскажу, так как система выглядит ну очень не простой! Строя графики, строй их «побольше», а главное, не удивляйся количеству точек пересечения.

Итак, поехали! Выдохнул? Теперь начинай строить!

Ну как? Красиво? Сколько точек пересечения у тебя получилось? У меня три! Давай сравнивать наши графики:

graficheskoe reshenie sistem uravnenij 4

Так же? Теперь аккуратно запиши все решения нашей системы:

При $\displaystyle {{x}_{1}}=-1$ , $\displaystyle {{y}_{1}}=1$ .

При $\displaystyle {{x}_{2}}=0$ , $\displaystyle {{y}_{2}}=2$ .

При $\displaystyle {{x}_{3}}=2$ , $\displaystyle {{y}_{3}}=10$ .

А теперь еще раз посмотри на систему:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}+2x+2;\\y-{{x}^{3}}=2.\end{array} \right.$

Представляешь, что ты решил это за каких-то 15 минут?

Согласись, математика – это все-таки просто, особенно когда, глядя на выражение, не боишься ошибиться, а берешь и решаешь! Ты большой молодец!

Решение неравенств с помощью графиков

Решение линейных неравенств

После последнего примера тебе все по плечу! Сейчас выдохни – по сравнению с предыдущими разделами этот будет очень-очень легким!

Начнем мы, как обычно, с графического решения линейного неравенства. Например, вот этого:

$\displaystyle {{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3$

Для начала проведем простейшие преобразования – раскроем скобки полных квадратов и приведем подобные слагаемые:

$\displaystyle \begin{array}{l}{{\left( {x} -6 \right)}^{2}}-{{\left( 5-x \right)}^{2}}<3\\\left( {{x}^{2}}-12x+36 \right)-\left( 25-10x+{{x}^{2}} \right)<3\\{{x}^{2}}-12x+36-25+10{x} -{{x}^{2}}<3\\-2x+11<3\\-2x<3-11\\-2x<-8\end{array}$

Что мы делаем дальше?

Правильно, делим обе части на отрицательное число $\displaystyle \left( -2 \right)$ , при этом не забывая поменять знак неравенства на противоположный (если не помнишь это, посмотри тему «Линейные неравенства»):

$\displaystyle \begin{array}{l}-2x<-8\\x>\frac{8}{2}\\x>4\end{array}$

Неравенство нестрогое, поэтому $\displaystyle 4$ — не включается в промежуток, и решением будут являться все точки, которые находятся правее $\displaystyle 4$ , так как $\displaystyle 5$ больше $\displaystyle 4$ , $\displaystyle 6$ больше $\displaystyle 4$ и так далее:

Ответ: $x\in \left( 4;+\infty \right)$

Вот и все! Легко? Давай решим простое неравенство с двумя переменными:

Решение неравенства с двумя переменными

$2{x} -3<y$

Нарисуем в системе координат функцию $y=2{x} -3$ .

Такой график у тебя получился? А теперь внимательно смотрим, что там у нас в неравенстве? Меньше? Значит, закрашиваем все, что находится левее нашей прямой.

А если было бы больше Правильно, тогда закрашивали бы все, что находится правее нашей прямой. Все просто.

Все решения данного неравенства «затушеваны» синим цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты $\displaystyle x$ и $\displaystyle y$ любой точки из закрашенной области и есть решения.

Решение квадратных неравенств

Теперь будем разбираться с тем, как графически решать квадратные неравенства.

Но прежде, чем перейти непосредственно к делу, давай повторим некоторый материал, касающийся квадратной функции $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ .

Что показывает нам знак при коэффициенте $\displaystyle a$ ? Верно, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз (не помнишь? Почитай теорию «Квадратичная функция»).

А за что у нас отвечает дискриминант? Правильно, за положение графика относительно оси $\displaystyle Ox$ (если не помнишь этого, то тогда точно прочти теорию о квадратичных функциях).

В любом случае, вот тебе небольшая табличка-напоминалка:

Теперь, когда мы освежили в памяти весь материал, перейдем к делу – решим графически неравенство $\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$ .

Решить неравенство: $\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$

Сразу тебе скажу, что есть два варианта его решения.

Вариант 1

Записываем нашу параболу как функцию:

$\displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21$

По формулам определяем координаты вершины параболы (точно так же, как и при решении квадратных уравнений):

$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

$\displaystyle y=-\frac{{{b}^{2}}-4ac}{4a}$

Посчитал? Что у тебя получилось?

$\displaystyle x=-\frac{10}{-2}=5$

$\displaystyle y=-\frac{100-4\left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)}{4\left( -1 \right)}=-\frac{100-84}{-4}=-\frac{16}{-4}=4$

Теперь возьмем еще две различных точки $\displaystyle x$ и посчитаем для них $\displaystyle y$ :

$\displaystyle {{x}_{1}}=6$

$\displaystyle {{y}_{1}}=-{{6}^{2}}+10\cdot 6-21=-36+60-21=3$

$\displaystyle {{x}_{2}}=7$

$\displaystyle {{y}_{2}}=-{{7}^{2}}+10\cdot 7-21=-49+70-21=0$

Начинаем строить одну ветвь параболы:

Симметрично отражаем наши точки на другую ветвь параболы:

А теперь возвращаемся к нашему неравенству $\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$ .

Нам необходимо, чтобы $\displaystyle y=-{{x}^{2}}+10{x} -21$ было меньше нуля, соответственно:

Так как в нашем неравенстве стоит знак строго меньше, то конечные точки мы исключаем – «выкалываем».

Ответ: $\displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)$

Долгий способ, правда? Сейчас я покажу тебе более простой вариант графического решения на примере того же неравенства: $\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$

Вариант 2

Решаем квадратное уравнение:

$\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0$

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D=100-4\cdot \left( -1 \right)\cdot \left( -21 \right)=100-84=16$

$\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4$

$\displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-10+4}{-2}=3$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-10-4}{-2}=7$

А дальше быстренько схематично рисуем параболу, не высчитывая, где у нее находится вершина, ведь по сути нам это не нужно, у нас есть основное – точки пересечения параболы с осью $\displaystyle Ox$ .

Возвращаемся к нашему неравенству $\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$ и отмечаем нужные нам промежутки:

Согласись, это намного быстрее.

Запишем теперь ответ: $\displaystyle x\in \left( -\infty ;3 \right)\cup \left( 7;+\infty \right)$

Рассмотрим еще один способ решения, который упрощает и алгебраическую часть, но главное не запутаться.

Вариант 3

$\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21<0$

$\displaystyle -{{x}^{2}}+10{x} -21=0$

Умножим левую и правую части на $\displaystyle -1$ :

$\displaystyle {{x}^{2}}-10x+21=0$

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D=100-4\cdot 1\cdot 21=100-84=16$

$\displaystyle \sqrt{D}=\sqrt{16}=4$

$\displaystyle {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{10+4}{2}=7$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{10-4}{2}=3$

Ну а дальше возвращаемся к неравенству и продолжаем все в том же духе.

Попробуй самостоятельно решить следующее квадратное неравенство любым понравившимся тебе способом: $\displaystyle {{x}^{2}}-6x+8\le 0$ .

Справился?

Смотри, как график получился у меня:

Ответ: $\displaystyle \left[ 2;4 \right]$ .

Решение смешанных неравенств

Теперь перейдем к более сложным неравенствам!

Как тебе такое:

$\displaystyle 4x<{{x}^{3}}$ ?

Жуть, правда? Честно говоря, я понятия не имею, как решить такое алгебраически… Но, оно и не надо. Графически ничего сложного в этом нет! Глаза боятся, а руки делают!

Первое, с чего мы начнем, – это с построения двух графиков:

$\displaystyle {{y}_{1}}=4x$

$\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$

Я не буду расписывать для каждого таблицу – уверена, ты отлично справишься с этим самостоятельно (еще бы, столько прорешать примеров!).

Расписал? Теперь строй два графика.

Сравним наши рисунки?

У тебя так же? Отлично!

Теперь расставим точки пересечения и цветом определим, какой график у нас по идее должен быть больше, то есть $\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$ .

Смотри, что получилось в итоге:

А теперь просто смотрим, в каком месте у нас выделенный график находится выше, чем график $\displaystyle {{y}_{1}}=4x$ ? Смело бери карандаш и закрашивай данную область! Она и будет решением нашего сложного неравенства!

На каких промежутках по оси $\displaystyle Ox$ у нас $\displaystyle {{y}_{2}}={{x}^{3}}$ находится выше, чем $\displaystyle {{y}_{1}}=4x$ ? Верно, $\displaystyle x\in \left( -2;0 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$ .

Это и есть ответ!

Ну вот, теперь тебе по плечу и любое уравнение, и любая система, и уж тем более любое неравенство!

Бонусы: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

В следующих вебинарах вы сможете отработать навык решения уравнений, неравенств и систем алгебраическим способом.

Решение линейных уравнений (алгебраически)

Цель урока — научиться решать линейные уравнения любого уровня сложности. Линейные уравнения – основа всей алгебры. Научитесь решать линейные уравнения, и вам будет намного проще осваивать всё остальное.

Приёмы, которые мы узнаем на этом уроке, применяются не только в линейных, но во всех типах уравнений, от квадратных до логарифмических. Все приёмы будем разбирать на конкретных примерах и сразу же отрабатывать.

Мы решим разберём все возможные типы линейных уравнений, решив 65 уравнений.

Мы научимся:

приводить подобные слагаемые
«переносить» слагаемые через знак равно
избавляться от коэффициентов (и заодно узнаем, что это такое – коэффициент:)
раскрывать скобки (в том числе, если перед скобками минус)
справляться с дробями в уравнениях

ЕГЭ №15. Решение уравнений и неравенств методом интервалов

В этом видео мы узнаем (вспомним) метод интервалов, поймём как и почему он работает. Вспомним, как решать квадратные, рациональные неравенства, а также неравенства с модулем и иррациональные.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Сдай ЕГЭ на 90+ с автором этого учебника

Алексей Шевчук — учитель с 20-летним стажем

математика, информатика, физика

Запишитесь на занятия:

+7 (905) 541-39-06

alexei.shevchuk@youclever.org

сотни моих учеников поступили в лучшие ВУЗы страны

автор самого понятного учебника по математике YouClever, по которому учатся десятки тысяч школьников и учителей;

закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;

профессиональный репетитор c 2003 года;

преподаю как на русском, так и на английском языках, готовлю к международным экзаменам;

в 2021 году сдал ЕГЭ на 100 баллов;

Добавить комментарий Отменить ответ

Один комментарий

Александр Кель:

21/07/2020 в 18:47

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Илья
16 декабря 2017
Хорошая работа, много «!», а так отлично.

Виктория
02 мая 2018
Спасибо! Подробно и доступно!

Константус
04 сентября 2018
Отлично.

Ответить