Показательные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

  1. Свойства степени и корня
  2. Решение линейных и квадратных уравнений
  3. Разложение на множители 

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения $latex 3x+5=2{x} -1$ является число $latex x=-6$. Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно $latex 5$ в третьей степени? Ты абсолютно прав: $latex {{5}^{3}}=5\cdot 5\cdot 5=125$. А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что $latex 2\cdot 2\cdot 2={{2}^{3}}=8$. Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я $latex x$ раз умножаю само на себя число $latex 2$ и получаю в результате $latex 16$. Спрашивается, сколько раз я умножил $latex 2$ само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что $latex 2$ само на себя я умножал $latex \displaystyle 4$ раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени: $latex \displaystyle {{2}^{4}}=16$. Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем $latex \displaystyle 1024$, ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать $latex \displaystyle 2$ само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

$latex \displaystyle {{2}^{x}}=1024$

где $latex \displaystyle x$ – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь $latex \displaystyle 2$ само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что $latex \displaystyle 1024={{2}^{10}}$, тогда моя задачка запишется в виде:

$latex \displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}$, откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

$latex x=10$.

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

$latex {{2}^{x}}={{2}^{10}}$

И даже нашел его корень $latex x=10$. Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

$latex {{1000}^{x}}=100$.

Но что же делать? Ведь $latex 100$ нельзя записать в виде степени (разумной) числа $latex 1000$. Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно: $latex 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}$. Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

$latex {{10}^{3x}}={{10}^{2}}$

Откуда, как ты уже понял, $latex 3x=2,~x=\frac{2}{3}$ . Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степениУравнение вида:

$latex {{a}^{x}}~=~b,~$, где $latex a~>~0,~a~\ne ~1$

называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: $latex \displaystyle {{1000}^{x}}=100,a=1000,b=100$.

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

$latex {{C}^{f\left( x \right)}}={{C}^{g\left( x \right)}}~~$c последующим решением уравнения $latex f(x)=g(x).$

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что $latex C=10,~f(x)=3x,~g(x)=2$. И мы решали с тобой простейшее уравнение $latex 3x=2$.

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

$latex {{3}^{5x+2}}={{81}^{{x} -1}}$

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число $latex 81$. Но, ничего страшного, ведь $latex 81={{3}^{4}}$, и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

$latex {{3}^{5x+2}}={{3}^{4({x} -1)}}$

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени», которое гласит:

$latex {{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\cdot m}}$

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & 2x=-6, \\ & x=-3. \\ \end{align}

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

$latex {{2}^{x}}=1$

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа $latex \displaystyle a$ выполняется:

$latex {{a}^{0}}=1$

поэтому, уравнение $latex {{2}^{x}}=1$

равносильно $latex {{2}^{x}}={{2}^{0}}$,

откуда $latex x=0$.

А что если:

$latex {{2}^{x}}=-0.000001$

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

$latex {{2}^{x}}$ $latex 0$ $latex 1$ $latex -1$ $latex 2$ $latex -2$ $latex 3$ $latex -3$ $latex 4$ $latex -4$
$latex x$ $latex 1$ $latex 2$ $latex \frac{1}{2}$ $latex 4$ $latex \frac{1}{4}$ $latex 8$ $latex \frac{1}{8}$ $latex 16$ $latex \frac{1}{16}$

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше $latex x$, тем меньше значение $latex {{2}^{x}}$, но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! $latex {{a}^{(x)}}>0$ (для любых $latex a>0\ $ и $latex x$). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении $latex {{2}^{x}}=-0.000001$? А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение $latex {{a}^{x}}=b,~b\le 0$.  Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

  1. $latex \frac{{{3}^{2x+1}}{{9}^{x+2}}}{{{27}^{x}}}=243$
  2. $latex {{4}^{3x+1}}{{625}^{\frac{x}{2}}}=6400$
  3. $latex 27\cdot {{3}^{4{x} -9}}-{{9}^{x+1}}=0$
  4. $latex {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}-{{60}^{4{x} -15}}=0$
  5. $latex {{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}$

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию: $latex {{9}^{x+2}}={{3}^{2(x+2)}}$, $latex {{27}^{x}}={{3}^{3}}^{x}, 243={{3}^{5}}.$. Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: $latex \frac{{{3}^{2x+1}}{{3}^{2(x+2)}}}{{{3}^{3x}}}={{3}^{5}}.$ Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются. Тогда я получу: $latex {{3}^{2x+1+2(x+2)-3x}}={{3}^{5}}.$ Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:    \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить $latex {{4}^{(3x+1)}}$ и $latex {{625}^{(x/2)}}$ в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

$latex \displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{3x+1}}=4\cdot {{4}^{3x}}=4\cdot {{64}^{x}}\\{{625}^{\frac{x}{2}}}~={{25}^{2\cdot \left( \frac{x}{2} \right)}}={{25}^{x}}\end{array}$

Левая часть уравнения примет вид: $latex 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}$ Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

$latex {{a}^{x}}{{b}^{x}}={{\left( ab \right)}^{x}}$

Применительно к моей ситуации это даст:

 \begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

$latex 27\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{9}^{x+1}}$

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

$latex {{3}^{3}}\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{3}^{2(x+1)}}$

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

$latex 3+4{x} -9=2(x+1)$

 Ты без труда найдешь его корень:

$latex x=4.$

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

$latex {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}={{60}^{4{x}-15}}$

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:$latex {{2}^{2x}}={{4}^{x}}$. Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

$latex {{60}^{x}}={{60}^{4{x} -15}}$

Мне кажется, дальше ты понял=)

$latex ~x=3$.

5.  $latex {{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}$.

Тут опять-таки все ясно:$latex 16={{2}^{4}},~\frac{1}{2}={{2}^{-1}}$(если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

  1. $latex \displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}=~{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{9}}$
  2. $latex \displaystyle {{7}^{x}}~=~{{5}^{x}}$
  3. $latex \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{8-2x}}=9$
  4. $latex \displaystyle {{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}=1$
  5. $latex \displaystyle {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{3{x} -7}}={{\left( \frac{7}{3} \right)}^{7-3x}}$

Готов? Ответы вот такие:

  1. любое число
  2. $latex \displaystyle 2$ и $latex \displaystyle 3$
  3. $latex \displaystyle 0$
  4. $latex \displaystyle 5$
  5. $latex \displaystyle 3$ и $latex \displaystyle -2,5$.

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

1. $latex \displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}$
$latex \displaystyle {{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{{{2}^{2}}}{{{3}^{2}}} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2\left( {{x}^{2}}-12 \right)}}$.

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

$latex {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{-n}}$

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

$latex {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2({{x}^{2}}-12)}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{9}}$,

откуда

$latex {x} -2({{x}^{2}}-12)=9$.

 Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

$latex {{x}_{1}}=3,~{{x}_{2}}=-2,5$

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

$latex {{\left( \frac{7}{5} \right)}^{x}}=1,$

Откуда $latex \displaystyle x=0$ (почему?!)

3. $latex {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{8-2x}}=9$ даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».
$latex x=5$

4. $latex {{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}=1$ равносильно квадратному уравнению $latex {{x}^{2}}-5x+6=0$, корни $latex {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=3.$

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

$latex 3{x} -7=-(7-3x)$

$latex 3{x} -7=3{x} -7$

$latex 0=0$

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом $latex x$. Тогда ответ – это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой – скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть $latex \displaystyle 1000000$ рублей, а тебе хочется превратить его в $latex \displaystyle 1500000$ рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под $latex \displaystyle 12\%$ годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть $latex Sn$ – начальная сумма, $latex Sk$ – конечная сумма, $latex i$ – процентная ставка за период, $latex x$ – количество периодов. Тогда:

$latex Sk=Sn{{\left( 1+\frac{i}{100} \right)}^{x}}$

В нашем случае $latex \displaystyle Sn=1000000={{10}^{6}},~Sk=1500000=1.5\cdot {{10}^{6}},~i=1$ (если ставка $latex 12\%$ годовых, то за месяц начисляют $latex 1\%$). А почему $latex i$ делится на $latex 100$? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»! Тогда мы получим вот такое уравнение:

$latex 1.5\cdot {{10}^{6}}={{10}^{6}}{{\left( 1+0.01 \right)}^{x}}$

$latex 1.5={{1.01}^{x}}$

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: $latex x\tilde{\ }40.7489$… Таким образом, для получения $latex 1.5$ млн. нам потребуется сделать вклад на $latex 41$ месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону $latex m(t)={{m}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}$, где $latex {{m}_{0}}$ (мг) — начальная масса изотопа, $latex t$ (мин.) — время, прошедшее от начального момента, $latex T~$ (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $latex {{m}_{0}}=50$ мг. Период его полураспада $latex T=5~$ мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна $latex 12,5$ мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

$latex \displaystyle 12.5=50\cdot {{2}^{-\frac{t}{5}}}$

Разделим обе части на $latex 50$, «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

$latex 0.25={{2}^{-\frac{t}{5}}}$

 Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит $latex 0.25=\frac{1}{4}={{2}^{-2}}$, тогда перейдем к равносильному уравнению:

$latex -2=-\frac{t}{5}$, откуда $latex t=10$ мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

$latex {{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b$

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

$latex {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)$,

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

$latex 3a-3b=3(a-b),$

Тогда исходное выражение равносильно такому:

$latex (a-b)(a+b)+~3(a-b)$,

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

$latex (a-b)(a+b+3)$

Следовательно,

$latex {{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b=\left( a-b \right)\left( a+b+3 \right)$

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

$latex {{7}^{x+2}}+4\cdot {{7}^{x}}-1=347$

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель $latex 49={{7}^{2}},$ а от второго $latex \frac{1}{7}={{7}^{-1}}$, а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» $latex {{7}^{x}}$, так не лучше ли мне вынести $latex {{7}^{{x} -1}}$? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

$latex {{7}^{{x} -1}}({{7}^{3}}+4)=347$

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что $latex {{7}^{3}}+4=347$ (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим: $latex {{7}^{{x} -1}}=1={{7}^{0}}$, откуда $latex x=1$.

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

$latex {{5}^{2x}}-{{4}^{{x} -1}}={{4}^{x}}+{{5}^{2{x} -1}}$

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

$latex {{5}^{2x}}-{{5}^{2{x} -1}}={{4}^{x}}+{{4}^{{x} -1}}$

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

$latex {{5}^{2x}}(1-\frac{1}{5})={{4}^{x}}(1+4)$

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

$latex {{5}^{2x}}={{25}^{x}}$

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с $latex x$, а справа – все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на $latex {{4}^{x}}$ (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на $latex (1-\frac{1}{5})$ ( так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

$latex \displaystyle \frac{{{25}^{x}}}{{{4}^{x}}}=\frac{5}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{\frac{4}{5}}=5\cdot \frac{5}{4}=\frac{25}{4}$

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение $latex \frac{{{25}^{x}}}{{{4}^{x}}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}$, а справа – просто $latex \frac{25}{4}$ . Тогда тут же делаем вывод, что $latex x=1.$

Вот тебе еще один пример на закрепление:

$latex {{2}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}}}={{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}+2}}$

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

$latex {{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}-1}}+{{3}^{{{x}^{2}}}}$

$latex {{2}^{{{x}^{2}}-1}}\left( 1+8 \right)={{3}^{{{x}^{2}}-1}}(1+3)$

$latex 9\cdot {{2}^{{{x}^{2}}-1}}=4\cdot {{3}^{{{x}^{2}}-1}}$

$latex {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-1}}\cdot \frac{9}{4}=1$

$latex {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-3}}=1$

$latex {{x}^{2}}-3=0$

$latex {{x}_{1}}=\sqrt{3},{{x}_{2}}=-\sqrt{3}$

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

  1. $latex 2\cdot {{3}^{x+1}}-6\cdot {{3}^{{x} -1}}-{{3}^{x}}=9$
  2. $latex {{3}^{2x+6}}={{2}^{x+3}}$
  3. $latex {{0.6}^{x}}{{\left( \frac{25}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{(\frac{27}{125})}^{3}}$
  4. $latex 6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0$
  5. $latex 6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0$
  6. $latex {{3}^{x+2}}+4\cdot {{3}^{x+1}}=21$
  7. $latex {{5}^{2x+1}}-3\cdot {{5}^{2{x} -1}}=550$

1. Вынесем общий множитель $latex {{3}^{{x} -1}}$ за скобки: $latex {{3}^{{x} -1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }(2\cdot 9-6-3)=9$ Откуда $latex {{3}^{{x} -1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=1,~x=1$

2. Первое выражение представим в виде: $latex {{3}^{2\left( x+3 \right)}}={{9}^{x+3}}$ , разделим обе части на $latex {{2}^{x+3}}$ и получим, что $latex {{\left( \frac{9}{2} \right)}^{x+3}}=1,~x=-3.$

3. $latex 0.6=\frac{3}{5}$ , $latex \frac{25}{9}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}$, $latex \frac{27}{125}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{3}}$, тогда исходное уравнение преобразуется к виду: $latex {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{{x} -2({{x}^{2}}-12)}}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{9}}$ Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!

4. Представь $latex 4$ как $latex {{2}^{2}}$, $latex 9$ как $latex {{3}^{2}}$, а $latex 6=2\cdot 3$, ну а затем подели обе части на $latex {{3}^{2x}}$, так ты получишь простейшее показательное уравнение.

5. Вынеси $latex {{3}^{x}}~$за скобки.

6. Вынеси $latex {{5}^{2x}}$ за скобки.

Проверь себя — реши задачи на показательные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий