Показательные уравнения. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Привет! Сегодня мы обсудим с тобой, как решать уравнения, которые могут быть как элементарными (а я надеюсь, что после прочтения этой статьи почти что все они и будут для тебя таковыми), так и такими, которые обычно дают «на засыпку». Видимо, чтобы засыпать окончательно. Но я постараюсь сделать все возможное, чтобы уж теперь ты не попал впросак, столкнувшись с таким типом уравнений. Я не буду больше ходить вокруг да около, а сразу открою маленький секрет: сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями.

Прежде чем переходить к разбору способов их решений, я сразу обрисую перед тобой круг вопросов (достаточно небольшой), который тебе стоит повторить, прежде чем бросаться на штурм этой темы. Итак, для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

  1. Свойства степени и корня
  2. Решение линейных и квадратных уравнений
  3. Разложение на множители 

Повторил? Замечательно! Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \(3x+5=2{x} -1\) является число \(x=-6\). Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \(5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав: \({{5}^{3}}=5\cdot 5\cdot 5=125\). А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что \(2\cdot 2\cdot 2={{2}^{3}}=8\). Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \(x\) раз умножаю само на себя число \(2\) и получаю в результате \(16\). Спрашивается, сколько раз я умножил \(2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align}

Тогда ты можешь сделать вывод, что \(2\) само на себя я умножал \(\displaystyle 4\) раза. Как еще это можно проверить? А вот как: непосредственно по определению степени: \(\displaystyle {{2}^{4}}=16\). Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \(\displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \(\displaystyle 2\) само на себя до посинения. И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

\(\displaystyle {{2}^{x}}=1024\)

где \(\displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \(\displaystyle 2\) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \(\displaystyle 1024={{2}^{10}}\), тогда моя задачка запишется в виде:

\(\displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}\), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

\(x=10\).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

\({{2}^{x}}={{2}^{10}}\)

И даже нашел его корень \(x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же. Вот тебе еще один пример:

\({{1000}^{x}}=100\).

Но что же делать? Ведь \(100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \(1000\). Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа. Какого? Верно: \(100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}\). Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

\({{10}^{3x}}={{10}^{2}}\)

Откуда, как ты уже понял, \(3x=2,~x=\frac{2}{3}\) . Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения — уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степениУравнение вида:

\({{a}^{x}}~=~b,~\), где \(a~>~0,~a~\ne ~1\)

называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: \(\displaystyle {{1000}^{x}}=100,a=1000,b=100\).

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

\({{C}^{f\left( x \right)}}={{C}^{g\left( x \right)}}~~\)c последующим решением уравнения \(f(x)=g(x).\)

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \(C=10,~f(x)=3x,~g(x)=2\). И мы решали с тобой простейшее уравнение \(3x=2\).

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах:

\({{3}^{5x+2}}={{81}^{{x} -1}}\)

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа. Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \(81\). Но, ничего страшного, ведь \(81={{3}^{4}}\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

\({{3}^{5x+2}}={{3}^{4({x} -1)}}\)

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом? Правило «степени в степени», которое гласит:

\({{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\cdot m}}\)

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:
\begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & 2x=-6, \\ & x=-3. \\ \end{align}

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например с таким уравнением?

\({{2}^{x}}=1\)

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа \(\displaystyle a\) выполняется:

\({{a}^{0}}=1\)

поэтому, уравнение \({{2}^{x}}=1\)

равносильно \({{2}^{x}}={{2}^{0}}\),

откуда \(x=0\).

А что если:

\({{2}^{x}}=-0.000001\)

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

\({{2}^{x}}\) \(0\) \(1\) \(-1\) \(2\) \(-2\) \(3\) \(-3\) \(4\) \(-4\)
\(x\) \(1\) \(2\) \(\frac{1}{2}\) \(4\) \(\frac{1}{4}\) \(8\) \(\frac{1}{8}\) \(16\) \(\frac{1}{16}\)

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \(x\), тем меньше значение \({{2}^{x}}\), но тем не менее, все эти значения больше нуля. И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!! Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \({{a}^{(x)}}>0\) (для любых \(a>0\ \) и \(x\)). Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \({{2}^{x}}=-0.000001\)? А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \({{a}^{x}}=b,~b\le 0\).  Теперь давай потренируемся и порешаем простые примерчики:

  1. \(\frac{{{3}^{2x+1}}{{9}^{x+2}}}{{{27}^{x}}}=243\)
  2. \({{4}^{3x+1}}{{625}^{\frac{x}{2}}}=6400\)
  3. \(27\cdot {{3}^{4{x} -9}}-{{9}^{x+1}}=0\)
  4. \({{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}-{{60}^{4{x} -15}}=0\)
  5. \({{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}\)

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!) Как правило, все приводят к наименьшему основанию: \({{9}^{x+2}}={{3}^{2(x+2)}}\), \({{27}^{x}}={{3}^{3}}^{x}, 243={{3}^{5}}.\). Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \(\frac{{{3}^{2x+1}}{{3}^{2(x+2)}}}{{{3}^{3x}}}={{3}^{5}}.\) Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней: при умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются. Тогда я получу: \({{3}^{2x+1+2(x+2)-3x}}={{3}^{5}}.\) Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному:    \begin{align}
& 2x+1+2(x+2)-3x=5 \\
& 2x+1+2x+4-3x=5 \\
& x=0. \\
\end{align}

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \({{4}^{(3x+1)}}\) и \({{625}^{(x/2)}}\) в виде степени одного и того же числа. В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

\(\displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{3x+1}}=4\cdot {{4}^{3x}}=4\cdot {{64}^{x}}\\{{625}^{\frac{x}{2}}}~={{25}^{2\cdot \left( \frac{x}{2} \right)}}={{25}^{x}}\end{array}\)

Левая часть уравнения примет вид: \(4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}\) Что же нам это дало? А вот что: Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

\({{a}^{x}}{{b}^{x}}={{\left( ab \right)}^{x}}\)

Применительно к моей ситуации это даст:

 \begin{align}
& 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400, \\
& 4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400, \\
& {{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}, \\
& {{1600}^{x}}=1600, \\
& x=1. \\
\end{align}

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай). Перенесу слагаемое с минусом вправо:

\(27\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{9}^{x+1}}\)

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

\({{3}^{3}}\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{3}^{2(x+1)}}\)

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

\(3+4{x} -9=2(x+1)\)

 Ты без труда найдешь его корень:

\(x=4.\)

4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

\({{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}={{60}^{4{x}-15}}\)

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего? Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:\({{2}^{2x}}={{4}^{x}}\). Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

\({{60}^{x}}={{60}^{4{x} -15}}\)

Мне кажется, дальше ты понял=)

\(~x=3\).

5.  \({{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}\).

Тут опять-таки все ясно:\(16={{2}^{4}},~\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\)(если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно. Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\begin{align}
& {{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}} \\
& 4({x} -9)=-1 \\
& x=\frac{35}{4}. \\
\end{align}

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

  1. \(\displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}=~{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{9}}\)
  2. \(\displaystyle {{7}^{x}}~=~{{5}^{x}}\)
  3. \(\displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{8-2x}}=9\)
  4. \(\displaystyle {{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}=1\)
  5. \(\displaystyle {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{3{x} -7}}={{\left( \frac{7}{3} \right)}^{7-3x}}\)

Готов? Ответы вот такие:

  1. любое число
  2. \(\displaystyle 2\) и \(\displaystyle 3\)
  3. \(\displaystyle 0\)
  4. \(\displaystyle 5\)
  5. \(\displaystyle 3\) и \(\displaystyle -2,5\).

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

1. \(\displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\)
\(\displaystyle {{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{{{2}^{2}}}{{{3}^{2}}} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2\left( {{x}^{2}}-12 \right)}}\).

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:

\({{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{-n}}\)

Это правило очень часто используется при решении показательных уравнений, запомни его хорошенько!

Тогда исходное уравнение станет вот таким:

\({{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{-2({{x}^{2}}-12)}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{9}}\),

откуда

\({x} -2({{x}^{2}}-12)=9\).

 Решив это квадратное уравнение, ты получишь вот такие корни:

\({{x}_{1}}=3,~{{x}_{2}}=-2,5\)

2. Еще один прием решения: деление обеих частей уравнения на выражение, стоящее слева (или справа). Разделю на то, что справа, тогда получу:

\({{\left( \frac{7}{5} \right)}^{x}}=1,\)

Откуда \(\displaystyle x=0\) (почему?!)

3. \({{\left( \frac{1}{3} \right)}^{8-2x}}=9\) даже не хочу повторятся, настолько все уже «разжевано».
\(x=5\)

4. \({{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}=1\) равносильно квадратному уравнению \({{x}^{2}}-5x+6=0\), корни \({{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=3.\)

5. Нужно воспользоваться формулой, приведенной в первой задаче, тогда получишь, что:

\(3{x} -7=-(7-3x)\)

\(3{x} -7=3{x} -7\)

\(0=0\)

Уравнение превратилось в тривиальное тождество, которое верно при любом \(x\). Тогда ответ – это любое действительное число.

Ну что же, вот ты и потренировался решать простейшие показательные уравнения. Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе. Здесь я приведу два примера. Один из них вполне повседневен, ну а другой – скорее имеет научный, нежели практический интерес.

Пример 1 (меркантильный) Пусть у тебя есть \(\displaystyle 1000000\) рублей, а тебе хочется превратить его в \(\displaystyle 1500000\) рублей. Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под \(\displaystyle 12\%\) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением). Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму? Вполне приземленная задача, не так ли? Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения: Пусть \(Sn\) – начальная сумма, \(Sk\) – конечная сумма, \(i\) – процентная ставка за период, \(x\) – количество периодов. Тогда:

\(Sk=Sn{{\left( 1+\frac{i}{100} \right)}^{x}}\)

В нашем случае \(\displaystyle Sn=1000000={{10}^{6}},~Sk=1500000=1.5\cdot {{10}^{6}},~i=1\) (если ставка \(12\%\) годовых, то за месяц начисляют \(1\%\)). А почему \(i\) делится на \(100\)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»! Тогда мы получим вот такое уравнение:

\(1.5\cdot {{10}^{6}}={{10}^{6}}{{\left( 1+0.01 \right)}^{x}}\)

\(1.5={{1.01}^{x}}\)

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: \(x\tilde{\ }40.7489\)… Таким образом, для получения \(1.5\) млн. нам потребуется сделать вклад на \(41\) месяц (не очень быстро, не правда ли?).

Пример 2 (скорее научный). Несмотря на его, некоторую «оторванность», рекомендую тебе обратить на него внимание: он регулярно «проскальзывает в ЕГЭ!! (задача взята из «реального» варианта) В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \(m(t)={{m}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}\), где \({{m}_{0}}\) (мг) — начальная масса изотопа, \(t\) (мин.) — время, прошедшее от начального момента, \(T~\) (мин.) — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа \({{m}_{0}}=50\) мг. Период его полураспада \(T=5~\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна \(12,5\) мг? Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

\(\displaystyle 12.5=50\cdot {{2}^{-\frac{t}{5}}}\)

Разделим обе части на \(50\), «в надежде», что слева мы получим что-нибудь удобоваримое:

\(0.25={{2}^{-\frac{t}{5}}}\)

 Ну что же, нам очень повезло! Слева стоит \(0.25=\frac{1}{4}={{2}^{-2}}\), тогда перейдем к равносильному уравнению:

\(-2=-\frac{t}{5}\), откуда \(t=10\) мин.

Как видишь, показательные уравнения имеют вполне реальное приложение на практике. Теперь я хочу разобрать с тобой еще один (нехитрый) способ решения показательных уравнений, который основан на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых. Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

\({{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b\)

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое. Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

\({{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)\),

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

\(3a-3b=3(a-b),\)

Тогда исходное выражение равносильно такому:

\((a-b)(a+b)+~3(a-b)\),

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

\((a-b)(a+b+3)\)

Следовательно,

\({{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b=\left( a-b \right)\left( a+b+3 \right)\)

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти =)) Например:

\({{7}^{x+2}}+4\cdot {{7}^{x}}-1=347\)

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель \(49={{7}^{2}},\) а от второго \(\frac{1}{7}={{7}^{-1}}\), а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее. Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» \({{7}^{x}}\), так не лучше ли мне вынести \({{7}^{{x} -1}}\)? Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

\({{7}^{{x} -1}}({{7}^{3}}+4)=347\)

Посчитай выражение в скобках. Волшебным, магическим образом получается, что \({{7}^{3}}+4=347\) (удивительно, хотя чего нам еще ждать?).

Тогда сократим обе части уравнения на этот множитель. Получим: \({{7}^{{x} -1}}=1={{7}^{0}}\), откуда \(x=1\).

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

\({{5}^{2x}}-{{4}^{{x} -1}}={{4}^{x}}+{{5}^{2{x} -1}}\)

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать. А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

\({{5}^{2x}}-{{5}^{2{x} -1}}={{4}^{x}}+{{4}^{{x} -1}}\)

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

\({{5}^{2x}}(1-\frac{1}{5})={{4}^{x}}(1+4)\)

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

\({{5}^{2x}}={{25}^{x}}\)

Ну а теперь сделаем так, чтобы слева у нас было только выражение с \(x\), а справа – все остальное. Как нам это сделать? А вот как: Разделить обе части уравнения сначала на \({{4}^{x}}\) (так мы избавимся от степени справа), а затем разделим обе части на \((1-\frac{1}{5})\) ( так мы избавимся от числового множителя слева). Окончательно получим:

\(\displaystyle \frac{{{25}^{x}}}{{{4}^{x}}}=\frac{5}{1-\frac{1}{5}}=\frac{5}{\frac{4}{5}}=5\cdot \frac{5}{4}=\frac{25}{4}\)

Невероятно! Cлева у нас стоит выражение \(\frac{{{25}^{x}}}{{{4}^{x}}}={{\left( \frac{25}{4} \right)}^{x}}\), а справа – просто \(\frac{25}{4}\) . Тогда тут же делаем вывод, что \(x=1.\)

Вот тебе еще один пример на закрепление:

\({{2}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}}}={{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}+2}}\)

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

\({{2}^{{{x}^{2}}-1}}+{{2}^{{{x}^{2}}+2}}={{3}^{{{x}^{2}}-1}}+{{3}^{{{x}^{2}}}}\)

\({{2}^{{{x}^{2}}-1}}\left( 1+8 \right)={{3}^{{{x}^{2}}-1}}(1+3)\)

\(9\cdot {{2}^{{{x}^{2}}-1}}=4\cdot {{3}^{{{x}^{2}}-1}}\)

\({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-1}}\cdot \frac{9}{4}=1\)

\({{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{x}^{2}}-3}}=1\)

\({{x}^{2}}-3=0\)

\({{x}_{1}}=\sqrt{3},{{x}_{2}}=-\sqrt{3}\)

Теперь итоговое закрепление пройденного материала. Постарайся самостоятельно решить следующие задачи. Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

  1. \(2\cdot {{3}^{x+1}}-6\cdot {{3}^{{x} -1}}-{{3}^{x}}=9\)
  2. \({{3}^{2x+6}}={{2}^{x+3}}\)
  3. \({{0.6}^{x}}{{\left( \frac{25}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{(\frac{27}{125})}^{3}}\)
  4. \(6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0\)
  5. \(6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0\)
  6. \({{3}^{x+2}}+4\cdot {{3}^{x+1}}=21\)
  7. \({{5}^{2x+1}}-3\cdot {{5}^{2{x} -1}}=550\)

1. Вынесем общий множитель \({{3}^{{x} -1}}\) за скобки: \({{3}^{{x} -1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }(2\cdot 9-6-3)=9\) Откуда \({{3}^{{x} -1}}\text{ }\!\!~\!\!\text{ }=1,~x=1\)

2. Первое выражение представим в виде: \({{3}^{2\left( x+3 \right)}}={{9}^{x+3}}\) , разделим обе части на \({{2}^{x+3}}\) и получим, что \({{\left( \frac{9}{2} \right)}^{x+3}}=1,~x=-3.\)

3. \(0.6=\frac{3}{5}\) , \(\frac{25}{9}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}\), \(\frac{27}{125}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{3}}\), тогда исходное уравнение преобразуется к виду: \({{\left( \frac{3}{5} \right)}^{{x} -2({{x}^{2}}-12)}}={{\left( \frac{3}{5} \right)}^{9}}\) Ну а теперь подсказка – ищи, где мы с тобой уже решали это уравнение!

4. Представь \(4\) как \({{2}^{2}}\), \(9\) как \({{3}^{2}}\), а \(6=2\cdot 3\), ну а затем подели обе части на \({{3}^{2x}}\), так ты получишь простейшее показательное уравнение.

5. Вынеси \({{3}^{x}}~\)за скобки.

6. Вынеси \({{5}^{2x}}\) за скобки.

Проверь себя — реши задачи на показательные уравнения.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий