Показательные уравнения – 32 примера

Сегодня мы будем заниматься показательными уравнениями. 

Как элементарными, так и такими, которые обычно дают в ЕГЭ «на засыпку». Прямо с прошлых вариантов ЕГЭ.

Впрочем, после прочтения этой статьи все они станут для тебя элементарными.

Почему?

Потому что ты сможешь проследить шаг за шагом, как я думаю, когда я их решаю, и научиться решать их сам!  И потому что мы разберем в этой статье целых 32 примера! 

Поехали!

Показательные уравнения – коротко о главном

Показательное уравнение:

Уравнение вида: \( {{a}^{x}}~=~b,~\), где \( a~>~0,~a~\ne ~1\) называется простейшим показательным уравнением.

Свойства степеней:

Произведение степеней\( {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}={{a}^{n+m}}\)
\( {{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}={{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\)
Деление степеней\( \frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}={{a}^{n-m}}\)
\( \frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}={{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\)
Возведение степени в степень\( {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}\)

Подходы к решению:

  • Приведение к одинаковому основанию
  • Приведение к одинаковому показателю степени
  • Замена переменной
  • Упрощение выражения и применение одного из вышеназванных

Что такое показательные уравнения

Если ты забыл следующие темы, то для получения наилучшего результата, пожалуйста, повтори:

Повторил? Замечательно!

Тогда тебе не составит труда заметить, что корнем уравнения \( 3x+5=2{x} -1\) является число \( x=-6\).

Ты точно понял, как я это сделал? Правда? Тогда продолжаем. Теперь ответь мне на вопрос, чему равно \( 5\) в третьей степени? Ты абсолютно прав:

\( {{5}^{3}}=5\cdot 5\cdot 5=125\).

А восьмерка – это какая степень двойки? Правильно – третья! Потому что:

\( 2\cdot 2\cdot 2={{2}^{3}}=8\).

Ну вот, теперь давай попробуем решить следующую задачку: Пусть я \( x\) раз умножаю само на себя число \( 2\) и получаю в результате \( 16\).

Спрашивается, сколько раз я умножил \( 2\) само на себя? Ты, конечно, можешь проверить это непосредственно:

\( \begin{align} & 2=2 \\ & 2\cdot 2=4 \\ & 2\cdot 2\cdot 2=8 \\ & 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16 \\ \end{align} \)

Тогда ты можешь сделать вывод, что \( 2\) само на себя я умножал \( \displaystyle 4\) раза.

Как еще это можно проверить?

А вот как: непосредственно по определению степени: \( \displaystyle {{2}^{4}}=16\).

Но, согласись, если бы я спрашивал, сколько раз два нужно умножить само на себя, чтобы получить, скажем \( \displaystyle 1024\), ты бы сказал мне: я не буду морочить себе голову и умножать \( \displaystyle 2\) само на себя до посинения.

И был бы абсолютно прав. Потому как ты можешь записать все действия кратко (а краткость – сестра таланта)

\( \displaystyle {{2}^{x}}=1024\),

где \( \displaystyle x\) – это и есть те самые «разы», когда ты умножаешь \( \displaystyle 2\) само на себя.

Я думаю, что ты знаешь ( а если не знаешь, срочно, очень срочно повторяй степени!), что \( \displaystyle 1024={{2}^{10}}\), тогда моя задачка запишется в виде:

\( \displaystyle {{2}^{x}}={{2}^{10}}\), откуда ты можешь сделать вполне оправданный вывод, что:

\( x=10\).

Вот так вот незаметно я записал простейшее показательное уравнение:

\( {{2}^{x}}={{2}^{10}}\)

И даже нашел его корень \( x=10\). Тебе не кажется, что все совсем тривиально? Вот и я думаю именно так же.

Вот тебе еще один пример:

\( {{1000}^{x}}=100\).

Но что же делать?

Ведь \( 100\) нельзя записать в виде степени (разумной) числа \( 1000\).

Давай не будем отчаиваться и заметим, что оба этих числа прекрасно выражаются через степень одного и того же числа.

Какого?

Верно: \( 100={{10}^{2}},~1000={{10}^{3}}\).

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

\( {{10}^{3x}}={{10}^{2}}\),

откуда, как ты уже понял, \( 3x=2,~x=\frac{2}{3}\).

Давай более не будем тянуть и запишем определение:

Показательные уравнения – уравнения, которые содержат неизвестное в показателе степени.

Уравнение вида: \( {{a}^{x}}~=~b,~\), где \( a~>~0,~a~\ne ~1\) называется простейшим показательным уравнением.

В нашем с тобой случае: \( \displaystyle {{1000}^{x}}=100,a=1000,b=100\).

Решаются эти уравнения сведением их к виду:

\( {{C}^{f\left( x \right)}}={{C}^{g\left( x \right)}}~~\)c последующим решением уравнения \( f(x)=g(x).\)

Мы, собственно, в предыдущем примере это и делали: у нас получилось, что \( C=10,~f(x)=3x,~g(x)=2\).

И мы решали с тобой простейшее уравнение \( 3x=2\).

Вроде бы ничего сложного, правда? Давай вначале потренируемся на самых простых примерах.

Тренировка на простых примерах

\( {{3}^{5x+2}}={{81}^{{x} -1}}\)

Мы опять видим, что правую и левую часть уравнения нужно представить в виде степени одного числа.

Правда слева это уже сделано, а вот справа стоит число \( 81\).

Но ничего страшного, ведь \( 81={{3}^{4}}\), и мое уравнение чудесным образом преобразится вот в такое:

\( {{3}^{5x+2}}={{3}^{4({x} -1)}}\)

Чем мне пришлось здесь воспользоваться? Каким правилом?

Правило «степени в степени», которое гласит:

\( {{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}={{a}^{n\cdot m}}\)

Теперь все в порядке, можно переходить к равносильному уравнению:

\( \begin{align} & 5x+2=4({x} -1), \\ & 5x+2=4{x} -4, \\ & 5{x} -4{x} =-4-2, \\ & x=-6. \\ \end{align} \)

Теперь у меня есть глупый вопрос, как нам быть, например, с таким уравнением?

\( {{2}^{x}}=1\)

Конечно, ты верно заметил, что ничего пугаться тут не стоит, ведь:

для любого положительного числа \( \displaystyle a\) выполняется:

\( {{a}^{0}}=1\),

поэтому уравнение \( {{2}^{x}}=1\) 

равносильно \( {{2}^{x}}={{2}^{0}}\), 

откуда \( x=0\).

А что если:

\( {{2}^{x}}=-0.000001\)

Прежде чем ответить на этот вопрос, давай мы с тобой заполним вот такую табличку:

\( {{2}^{x}}\)\( 0\)\( 1\)\( -1\)\( 2\)\( -2\)\( 3\)\( -3\)\( 4\)\( -4\)
\( x\)\( 1\)\( 2\)\( \frac{1}{2}\)\( 4\)\( \frac{1}{4}\)\( 8\)\( \frac{1}{8}\)\( 16\)\( \frac{1}{16}\)

Нам не представляет труда заметить, что чем меньше \( x\), тем меньше значение \( {{2}^{x}}\), но тем не менее, все эти значения больше нуля.

И ТАК БУДЕТ ВСЕГДА!!!

Это же свойство справедливо ДЛЯ ЛЮБОГО ОСНОВАНИЯ С ЛЮБЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ!! \( {{a}^{(x)}}>0\) (для любых \( a>0\ \) и \( x\)).

Тогда какой мы можем сделать вывод об уравнении \( {{2}^{x}}=-0.000001\)?

А вот какой: оно корней не имеет! Как не имеет корней и любое уравнение \( {{a}^{x}}=b,~b\le 0\).

Теперь давай потренируемся и еще порешаем простые примерчики:

  • \( \frac{{{3}^{2x+1}}{{9}^{x+2}}}{{{27}^{x}}}=243\)
  • \( {{4}^{3x+1}}{{625}^{\frac{x}{2}}}=6400\)
  • \( 27\cdot {{3}^{4{x} -9}}-{{9}^{x+1}}=0\)
  •  \( {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}-{{60}^{4{x} -15}}=0\)
  • \( {{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}\)

Давай сверяться:

1. Здесь от тебя ничего не потребуется, кроме знания свойств степеней (которые, кстати, я просил тебя повторить!)

Как правило, все приводят к наименьшему основанию: \( {{9}^{x+2}}={{3}^{2(x+2)}}\), \( {{27}^{x}}={{3}^{3}}^{x}, 243={{3}^{5}}.\).

Тогда исходное уравнение будет равносильно следующему: \( \frac{{{3}^{2x+1}}{{3}^{2(x+2)}}}{{{3}^{3x}}}={{3}^{5}}.\)

Все, что мне нужно – это воспользоваться свойствами степеней:

При умножении чисел с одинаковыми основаниями степени складываются, а при делении – вычитаются.

Тогда я получу:

\( {{3}^{2x+1+2(x+2)-3x}}={{3}^{5}}.\)

Ну а теперь со спокойной совестью перейду от показательного уравнения к линейному: 

\( 2x+1+2(x+2)-3x=5 \)
\( 2x+1+2x+4-3x=5 \)
\( x=0 \)

2. Во втором примере надо быть внимательнее: беда вся в том, что в левой части у нас ну никак не получится представить \( {{4}^{(3x+1)}}\) и \( {{625}^{(x/2)}}\) в виде степени одного и того же числа.

В таком случае иногда полезно представлять числа в виде произведения степеней с разными основаниями, но одинаковыми показателями:

\( \displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{3x+1}}=4\cdot {{4}^{3x}}=4\cdot {{64}^{x}}\\{{625}^{\frac{x}{2}}}~={{25}^{2\cdot \left( \frac{x}{2} \right)}}={{25}^{x}}\end{array}\)

Левая часть уравнения примет вид: \( 4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}\)

Что же нам это дало? А вот что: 

Числа с разными основаниями, но одинаковыми показателями можно перемножать. При этом основания перемножаются, а показатель не меняется:

\( {{a}^{x}}{{b}^{x}}={{\left( ab \right)}^{x}}\)

Применительно к моей ситуации это даст:

\(4\cdot {{64}^{x}}{{25}^{x}}=6400\)
\(4\cdot {{(64\cdot 25)}^{x}}=6400\)
\({{1600}^{x}}=\frac{6400}{4}\)
\({{1600}^{x}}=1600\)
\(x=1\)

Неплохо, правда?

3. Я не люблю, когда у меня без особой нужды с одной стороны уравнения стоят два слагаемых, а с другой – ни одного (иногда, конечно, это оправданно, но сейчас не такой случай).

Перенесу слагаемое с минусом вправо:

\( 27\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{9}^{x+1}}\)

Теперь, как и раньше, запишу все через степени тройки:

\( {{3}^{3}}\cdot {{3}^{4{x} -9}}={{3}^{2(x+1)}}\)

Сложу степени слева и получу равносильное уравнение

\( 3+4{x} -9=2(x+1)\)

Ты без труда найдешь его корень:

\( x=4.\)


4. Как и в примере три, слагаемому с минусом – место в правой части!

\( {{2}^{2x}}{{3}^{x}}{{5}^{x}}={{60}^{4{x}-15}}\)

Слева у меня почти что все хорошо, кроме чего?

Да, мне мешает «неправильная степень» у двойки. Но я могу без труда это исправить, записав:

\( {{2}^{2x}}={{4}^{x}}\).

Эврика – слева все основания разные, но все степени – одинаковые! Срочно перемножаем!

\( {{60}^{x}}={{60}^{4{x} -15}}\)

Мне кажется, дальше ты понял=)

\( ~x=5\).

5. \( {{16}^{{x} -9}}=\frac{1}{2}\).

Тут опять-таки все ясно:

\( 16={{2}^{4}},~\frac{1}{2}={{2}^{-1}}\)

(если ты не понял, каким волшебным образом я получил последнее равенство, оторвись на минуту, передохни и прочитай свойства степени еще раз очень внимательно.

Кто говорил, что можно пропускать степень с отрицательным показателем? Ну вот и я о том же, что никто). Теперь я получу:

\({{2}^{4\left( {x} -9 \right)}}={{2}^{-1}}\)
\(4({x} -9)=-1\)
\(x=\frac{35}{4}\)

И еще немного примеров для тренировки

Вот тебе задачки для тренировки, к которым я лишь приведу ответы (но в «перемешанном» виде). Порешай их, сверься, и мы с тобой продолжим наши изыскания!

  • \( \displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}{{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}=~{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{9}}\)
  • \( \displaystyle {{7}^{x}}~=~{{5}^{x}}\)
  • \( \displaystyle {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{8-2x}}=9\)
  •  \( \displaystyle {{3}^{{{x}^{2}}-5x+6}}=1\)
  • \( \displaystyle {{\left( \frac{3}{7} \right)}^{3{x} -7}}={{\left( \frac{7}{3} \right)}^{7-3x}}\)

Готов? Ответы вот такие:

  • любое число
  • \( \displaystyle 2\) и \( \displaystyle 3\)
  • \( \displaystyle 0\)
  •  \( \displaystyle 5\)
  • \( \displaystyle 3\) и \( \displaystyle -2,5\)

Ну ладно, ладно, я пошутил! Вот вам наброски решений (некоторые – весьма краткие!)

1. \( \displaystyle \frac{{{3}^{x}}}{{{2}^{x}}}={{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}\)
\( \displaystyle {{\left( \frac{4}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{{{2}^{2}}}{{{3}^{2}}} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{\left( \frac{2}{3} \right)}^{2\left( {{x}^{2}}-12 \right)}}\).

Тебе не кажется неслучайным, что одна дробь слева – это «перевернутая» другая? Грех будет этим не воспользоваться:


Примеры из жизни по решению показательных уравнений

Теперь я хочу тебе привести несколько жизненных примеров, которые помогут тебе понять, а для чего они нужны в принципе.

Пример 1 (меркантильный)

Пусть у тебя есть \( \displaystyle 1000000\) рублей, а тебе хочется превратить его в \( \displaystyle 1500000\) рублей.

Банк предлагает тебе взять у тебя эти деньги под \( \displaystyle 12\%\) годовых с ежемесячной капитализацией процентов (ежемесячным начислением).

Спрашивается, на сколько месяцев нужно открыть вклад, чтобы набрать нужную конечную сумму?

Вполне приземленная задача, не так ли?

Тем не менее ее решение связано с построением соответствующего показательного уравнения:

Пусть \( Sn\) – начальная сумма, \( Sk\) – конечная сумма, \( i\) – процентная ставка за период, \( x\) – количество периодов.

Тогда:

\( Sk=Sn{{\left( 1+\frac{i}{100} \right)}^{x}}\)

В нашем случае \( \displaystyle Sn=1000000={{10}^{6}},~Sk=1500000=1.5\cdot {{10}^{6}},~i=1\) (если ставка \( 12\%\) годовых, то за месяц начисляют \( 1\%\)).

А почему \( i\) делится на \( 100\)? Если не знаешь ответ на этот вопрос, вспоминай тему «Проценты»!

Тогда мы получим вот такое уравнение:

\( 1.5\cdot {{10}^{6}}={{10}^{6}}{{\left( 1+0.01 \right)}^{x}}\)

\( 1.5={{1.01}^{x}}\)

Данное показательное уравнение уже можно решить только при помощи калькулятора (его внешний вид на это намекает, причем для этого требуется знание логарифмов, с которыми мы познакомимся чуть позже), что я и сделаю: \( x\tilde{\ }40.7489\)…

Таким образом, для получения \( 1.5\) млн. нам потребуется сделать вклад на \( 41\) месяц (не очень быстро, не правда ли?)

Пример 2 (регулярно попадается на ЕГЭ! Задача взята из «реального» варианта)

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону \( m(t)={{m}_{0}}\cdot {{2}^{-\frac{t}{T}}}\), где \( {{m}_{0}}\) (мг) — начальная масса изотопа, \( t\) (мин.) — время, прошедшее от начального момента, \( T~\) (мин.) — период полураспада.

В начальный момент времени масса изотопа \( {{m}_{0}}=50\) мг. Период его полураспада \( T=5~\) мин. Через сколько минут масса изотопа будет равна \( 12,5\) мг?

Ничего страшного: просто берем и подставляем все данные в предложенную нам формулу:

Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых

Не пугайся моих слов, ты уже сталкивался с этим методом в 7 классе, когда изучал многочлены. Например, если тебе требовалось разложить на множители выражение:

\( {{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b\)

Давай сгруппируем: первое и третье слагаемое, а также второе и четвертое.

Ясно, что первое и третье – это разность квадратов:

\( {{a}^{2}}-{{b}^{2}}=(a-b)(a+b)\),

а второе и четвертое имеют общий множитель тройку:

\( 3a-3b=3(a-b),\)

Тогда исходное выражение равносильно такому:

\( (a-b)(a+b)+~3(a-b)\),

Откуда вынести общий множитель уже не представляет труда:

\( (a-b)(a+b+3)\)

Следовательно,

\( {{a}^{2}}+3a-{{b}^{2}}-3b=\left( a-b \right)\left( a+b+3 \right)\)

Вот примерно таким образом мы и будем поступать при решении показательных уравнений: искать «общность» среди слагаемых и выносить ее за скобки, ну а потом – будь что будет, я верю, что нам будет везти 🙂

Пример 1. \( {{7}^{x+2}}+4\cdot {{7}^{x-1}}=347\)

Решение:

Справа стоит далеко не степень семерки (я проверял!) Да и слева – немногим лучше, можно, конечно, «оттяпать» от первого слагаемого множитель \( 49={{7}^{2}},\) а от второго \( \frac{1}{7}={{7}^{-1}}\), а затем уже разбираться с полученным, но давай с тобой поступим благоразумнее.

Я не хочу иметь дело с дробями, которые неизбежно образуются при «выделении» \( {{7}^{x}}\), так не лучше ли мне вынести \( {{7}^{{x} -1}}\)?

Тогда дробей у меня не будет: как говорится, и волки сыты и овцы целы:

Вот пример посложнее (совсем немного, правда):

\( {{5}^{2x}}-{{4}^{{x} +1}}={{4}^{x}}+{{5}^{2{x} -1}}\)

Вот беда-то! У нас здесь нет одного общего основания! Не совсем ясно, что же теперь делать.

А давай сделаем, что сможем: во-первых перенесем «четверки» в одну сторону, а «пятерки» в другую:

\( {{5}^{2x}}-{{5}^{2{x} -1}}={{4}^{x}}+{{4}^{{x} +1}}\)

Теперь давай вынесем «общее» слева и справа:

\( {{5}^{2x}}(1-\frac{1}{5})={{4}^{x}}(1+4)\)

Ну и что теперь? В чем выгода от такой бестолковой группировки? На первый взгляд она совсем не видна, однако давай глянем глубже:

Пример 2. \( {{2}^{{{x}^{2}}-1}}-{{3}^{{{x}^{2}}}}={{3}^{{{x}^{2}}-1}}-{{2}^{{{x}^{2}}+2}}\)

Решение:

Я приведу его краткое решение (не особо утруждая себя пояснениями), постарайся сам разобраться во всех «тонкостях» решения.

Итоговое закрепление пройденного материала.

Постарайся самостоятельно решить следующие задачи.

  • \( 2\cdot {{3}^{x+1}}-6\cdot {{3}^{{x} -1}}-{{3}^{x}}=9\)
  • \( {{3}^{2x+6}}={{2}^{x+3}}\)
  • \( {{0.6}^{x}}{{\left( \frac{25}{9} \right)}^{{{x}^{2}}-12}}={{(\frac{27}{125})}^{3}}\)
  •  \( 6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0\)
  • \( 6\cdot {{4}^{x}}-13\cdot {{6}^{x}}+6\cdot {{9}^{x}}=0\)
  •  \( {{3}^{x+2}}+4\cdot {{3}^{x+1}}=21\)
  • \( {{5}^{2x+1}}-3\cdot {{5}^{2{x} -1}}=550\)

Я лишь приведу краткие рекомендации и советы к их решению:

Я предполагаю, что после ознакомления с первой статьей, в которой рассказывалось, что такое показательные уравнения и как их решать, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я разберу еще один метод решения показательных уравнений, это метод введения новой переменной (или замены переменной).

Метод введения новой переменной (или замены)

Им решается большинство «трудных» задач, на тему показательные уравнения (и не только уравнения).

Этот способ – один из наиболее часто употребляемых на практике. Сперва рекомендую ознакомиться с темой «Замена переменных».

Как ты уже понял из названия, суть этого метода – ввести такую замену переменной, что твое показательное уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» – это сделать «обратную замену»: то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере.

Пример 1. Метод простой замены

\( {{4}^{x}}+{{2}^{x+1}}-3=0\)

Решение:

Это уравнение решается при помощи «простой замены», как ее пренебрежительно называют математики.

В самом деле, замена здесь – самая очевидная. Стоит лишь увидеть, что

\( {{4}^{x}}={{2}^{2x}}={{({{2}^{x}})}^{2}}\)

Тогда исходное уравнение превратится вот в такое:

\( {{({{2}^{x}})}^{2}}+{{2}^{x+1}}-3=0\)

Если же дополнительно представить \( {{2}^{x+1}}\) как \( 2\cdot {{2}^{x}}\), то совершенно ясно, что надо заменять: конечно же, \( t={{2}^{x}}\). Во что тогда превратится исходное уравнение? А вот во что:

\( {{t}^{2}}+2t-3=0\)

Ты без проблем самостоятельно отыщешь его корни: \( {{t}_{1}}=-3,~{{t}_{2}}=1\).

Что нам делать теперь?

Пришло время возвращаться к исходной переменной \( \displaystyle x\).

А что я забыл указать? Именно: при замене некоторой степени на новую переменную (то есть при замене вида \( t={{a}^{x}}\)), меня будут интересовать только положительные корни!

Ты и сам без труда ответишь, почему.

Таким образом, \( {{t}_{1}}=-3\) нас с тобой не интересует, а вот второй корень нам вполне подходит:

\( {{t}_{2}}=1\), тогда \( {{2}^{x}}=1\), откуда \( x=0\).

Ответ: \( x=0\)

Как видишь, в предыдущем примере, замена так и просилась к нам в руки. К сожалению, так бывает далеко не всегда.

Однако давай не будем переходить сразу к грустному, а потренируемся еще на одном примере с достаточно простой заменой.

Пример 2. Метод простой замены

\( {{3}^{3x+1}}-4\cdot {{9}^{x}}=17\cdot {{3}^{x}}-6\)

Решение:

Ясно, что скорее всего заменять придется \( {{3}^{x}}\) (это наименьшая из степеней, входящая в наше уравнение).

Однако прежде чем вводить замену, наше уравнение нужно к ней «подготовить», а именно:

\( {{3}^{3x+1}}=3\cdot {{\left( {{3}^{x}} \right)}^{3}}\), \( {{9}^{x}}={{({{3}^{x}})}^{2}}\).

Тогда можно заменять \( t={{3}^{x}}\), в результате я получу следующее выражение:

\( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}=17t-6\) \( 3{{t}^{3}}-4{{t}^{2}}-17t+6=0\)

О ужас: кубическое уравнение с совершенно жуткими формулами его решения (ну если говорить в общем виде). Но давай не будем сразу отчаиваться, а подумаем, что нам делать.

Я предложу смошенничать: мы знаем, что для получения «красивого» ответа, нам нужно получить \( t\) в виде некоторой степени тройки (с чего бы это, а?).

А давай попробуем угадать хотя бы один корень нашего уравнения (я начну гадать со степеней тройки).

Первое предположение \( \displaystyle t=1\). Не является корнем. Увы и ах! Хорошо, а теперь возьмем…

Этим примером я отнюдь не хотел напугать тебя!

Скорее наоборот, я ставил своей целью показать, что хоть у нас была довольно простая замена, тем не менее она привела к довольно сложному уравнению, решение которого потребовало от нас некоторых особых навыков.

Ну что же, от этого никто не застрахован. Зато замена в данном случае была довольно очевидной.

Пример 3. Менее очевидная замена

\( {{(2+\sqrt{3})}^{x}}+{{\left( 2-\sqrt{3} \right)}^{x}}=4~\)

Решение:

Совершенно не ясно, что нам делать: проблема в том, что в нашем уравнении два разных основания и одно основание не получается из другого возведением ни в какую (разумную, естественно) степень.

Однако, что мы видим?

Оба основания – отличаются только знаком, а их произведение – есть разность квадратов, равная единице:

\( (2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=4-3=1\)

Определение:

Числа \( a\),\( b\) такие, что \( ab=1\), называются сопряженными.

Таким образом, числа, являющиеся основаниями в нашем примере – сопряженные.

В таком случае разумным шагом будет домножить обе части уравнения на сопряженное число.

Например, на \( {{(2+\sqrt{3})}^{x}}\), тогда левая часть уравнения станет равна \( 1+{{(2+\sqrt{3})}^{x}}\), а правая \( -4\cdot {{(2+\sqrt{3})}^{x}}\).

Если сделать замену…

Как правило, метода замены оказывается достаточно, для решения большинства «школьных» показательных уравнений.

Следующие задачи повышенного уровня сложности взяты из вариантов ЕГЭ.

Задачи повышенной сложности из вариантов ЕГЭ

  • Решите уравнение: \( {{16}^{sin{x} -0.25}}-3\cdot {{4}^{sin{x} -0.5}}+1=0\)
  • Найдите корни уравнения: \( {{4}^{{{x}^{2}}+3{x} -2}}-{{0.5}^{2{{x}^{2}}+2{x} -1}}=0\)
  • Решите уравнение: \( ~{{25}^{{x} -1.5}}-12\cdot {{5}^{{x} -2}}+7=0\). Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку: \( (2~;~\frac{8}{3})\)

А теперь пояснения и ответы:

Как видишь, отбор корней показательных уравнений требует достаточно глубокого знания свойств логарифмов, так что я советую тебе быть как можно внимательнее, когда решаешь показательные уравнения.

Как ты понимаешь, в математике все взаимосвязано! Как говорила моя учительница по математике, математику, как историю, за ночь не прочитаешь.

Как правило, всю сложность при решении задач повышенной сложности составляет именно отбор корней уравнения.

Еще один пример для тренировки

\( {{9}^{x+1}}-2\cdot {{3}^{x+2}}+5=0,~\) при \( ~x\in (lo{{g}_{3}}\frac{3}{2};\sqrt{5})\)

Решение:

Ясно, что само уравнение решается довольно просто. Сделав замену \( t={{3}^{x}}\) мы сведем наше исходное уравнение к следующему:

\( {{t}^{2}}-18t+5=0\) \( {{t}_{1}}=\frac{1}{3},~{{t}_{2}}=\frac{5~}{3}\)

Тогда \( {{x}_{1}}=-1,~{{x}_{2}}=\mathbf{lo}{{\mathbf{g}}_{3}}\left( \frac{5}{3} \right)~~~\)

Вначале давай рассмотрим первый корень. 

Сравним \( -1\) и \( lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)\):

так как \( \frac{3}{2}>1\), то \( lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)>0\). (свойство логарифмической функции \( y=lo{{g}_{a}}x\) при \( a>1\)).

Тогда ясно, что\( lo{{g}_{3}}\left( \frac{3}{2} \right)>-1\) и первый корень не принадлежит нашему промежутку.

Теперь второй корень:

Пример уравнения с нестандартной заменой!

\( \displaystyle 4\sqrt[x]{81}-12\sqrt[x]{36}+9\sqrt[x]{16}=0\)

Решение:

Давай сразу начнем с того, что делать можно, а что – в принципе можно, но лучше не делать.

Можно – представить все через степени тройки, двойки и шестерки. К чему это приведет?

Да ни к чему и не приведет: мешанина степеней, причем от некоторых будет довольно сложно избавиться.

А что же тогда нужно?

Давай заметим, что \( 81={{9}^{2}},~16={{4}^{2}},~\) а \( 36=4\cdot 9.\)

И что нам это даст? А то, что мы можем свести решение данного примера к решению достаточно простого показательного уравнения!

Вначале давай перепишем наше уравнение в виде:

\( \displaystyle 4\cdot {{9}^{\frac{2}{x}}}~-12\cdot {{4}^{\frac{1}{x}}}{{9}^{\frac{1}{x}}}+9\cdot {{4}^{\frac{2}{x}}}=0\)

Такие уравнения называются однородными (подробнее читай в теме «Однородные уравнения»).

Теперь разделим обе части получившегося уравнения на \( {{4}^{\frac{2}{x}}}\):

Ну что, теперь твоя очередь решать задачки на показательные

А я приведу к ним лишь краткие комментарии, чтобы ты не сбился с верного пути! Удачи!

  • \( {{3}^{1-x}}-{{3}^{1+x}}+{{9}^{x}}+{{9}^{-x}}=6\)
  • \( {{5}^{{x} -1}}+5\cdot {{0.2}^{{x} -2}}=26\)
  • \( {{2}^{5{x} -1}}{{3}^{4x+1}}{{7}^{3x+3}}={{504}^{{x} -2}}\)
  • \( \frac{{{3}^{x}}+{{5}^{x+1}}}{{{3}^{x}}-{{5}^{x}}}=1\)
  • \( {{(\sqrt{5}-2)}^{x}}+{{(\sqrt{5}+2)}^{x}}=18\)

1. Самая трудная! Замену здесь усмотреть ох как нелегко! Но тем не менее этот пример вполне решаем при помощи выделения полного квадрата. Для его решения немножко упростим левую часть уравнения, а затем возведём её в квадрат:

\( {{3}^{1-x}}-{{3}^{1+x}}=3({{3}^{-x}}-{{3}^{x}})\)

\( {{({{3}^{-x}}-{{3}^{x}})}^{2}}={{9}^{-x}}-2+{{9}^{x}}\),

и теперь остаётся только заметить, что это уж очень похоже на правую часть уравнения:

\( {{9}^{-x}}+{{9}^{x}}=\left( {{3}^{-x}}-{{3}^{x}} \right)+2\)

Решение показательных уравнений методом логарифмирования

В дополнение давай рассмотрим еще один способ – решение показательных уравнений методом логарифмирования.

Не могу сказать, что решение показательных уравнений этим методом очень уж популярно, однако в некоторых случаях только он способен привести нас к правильному решению нашего уравнения.

Особенно часто он используется для решения так называемых «смешанных уравнений»: то есть таких, где встречаются функции разного вида.

Например, уравнение вида:

\( {{a}^{F(x)}}=b(x)\), причем \( b(x)\ne {{a}^{i}}\), \( i\)\( \in R/Q\)

В общем случае можно решить только логарифмированием обеих частей (например по основанию \( a\)), при котором исходное уравнение превратится в следующее:

\( F(x)=lo{{g}_{a}}b(x)\)

Давай рассмотрим следующий пример:

\( {{x}^{1+lgx}}=10x\)

Ясно, что по ОДЗ логарифмической функции, нас интересуют только \( x>0\). Однако, это следует не только из ОДЗ логарифма, а еще по одной причине. Я думаю, что тебе не будет трудно угадать, по какой же именно.

Давай прологарифмируем обе части нашего уравнения по основанию \( 10\):

\( lg({{x}^{1+lgx}})=lg(10x)\)

\( (1+lg(x))\cdot lg(x)=1+lg(x)\)

\( (1+lg(x))(lg(x)-1)=0\)

\( lg(x)=1,~lg(x)=-1\)

\( {{x}_{1}}=10,~{{x}_{2}}=0,1\)

Как видишь, логарифмирование нашего исходного уравнения достаточно быстро привело нас к правильному (и красивому!) ответу.

Давай потренируемся еще на одном примере:

\( {{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}}={{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}}\)

Здесь тоже нет ничего страшного: прологарифмируем обе стороны уравнения по основанию \( 4\), тогда получим:

\( lo{{g}_{4}}({{x}^{lo{{g}_{4}}x-2}})=lo{{g}_{4}}({{2}^{2(lo{{g}_{4}}x-1)}});\)

\( \left( lo{{g}_{4}}x-2 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}x=2\left( \text{lo}{{\text{g}}_{4}}x-1 \right)\text{lo}{{\text{g}}_{4}}2;\) \( (lo{{g}_{4}}x-2)lo{{g}_{4}}x=(lo{{g}_{4}}x-1);\)

Сделаем замену: \( t=lo{{g}_{4}}x\)

\( {{t}_{1}}=\frac{3+\sqrt{5}}{2},~{{t}_{2}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\)

Тогда \( {{x}_{1}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right),~{{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right),~\)

Однако мы кое-что упустили! Ты заметил, где я сделал промах?

Ведь \( \frac{3-\sqrt{5}}{2}<1,~\) тогда:

\( {{x}_{2}}=lo{{g}_{4}}\left( \frac{3-\sqrt{5}}{2} \right)<0,~~\) что не удовлетворяет требованию \( x>0\) (подумай откуда оно взялось!)

Ответ: \( lo{{g}_{4}}\left( \frac{3+\sqrt{5}}{2} \right)\)

Попробуй самостоятельно записать решение показательных уравнений, приведенных ниже

  • \( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}}=\sqrt{10}\)
  • \( {{(x+5)}^{lo{{g}_{7}}(x+5)}}=7\)

А теперь сверь свое решение с этим:

1. Логарифмируем обе части по основанию \( 10\), учитывая, что \( x>0\):

\( \lg \left( {{x}^{2l{{g}^{3}}x-1.5lgx}} \right)=lg\sqrt{10}\)

\( \left( 2l{{g}^{3}}x-1.5lgx \right)lgx=\frac{1}{2},~\), замена \( ~t=l{{g}^{2}}x\ge 0\)

\( 4{{t}^{2}}-3t-1=0\)

\( 4{{t}^{2}}-3t-1=0\) (второй корень нам не подходит ввиду замены)

\( l{{g}^{2}}x=1,~{{x}_{1}}=1,~{{x}_{2}}=0.1~\)

2. Логарифмируем по основанию \( \displaystyle 7\):

\( \displaystyle lo{{g}_{7}}{{\left( x+5 \right)}^{lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)}}=lo{{g}_{7}}7\)

Преобразуем полученное выражение к следующему виду:

\( \displaystyle \left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)+1 \right)\left( lo{{g}_{7}}\left( x+5 \right)-1 \right)=0\) \( \displaystyle {{x}_{1}}=2,~{{x}_{2}}=-\frac{34}{7}\)

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ

ЕГЭ №15. Показательные уравнения и неравенства. Сравнение чисел. Логарифмы.

В этом видео мы научимся решать сложные показательные уравнения и неравенства. Чаще всего они сводятся к квадратным или рациональным.

В сложных неравенствах нам никто не гарантирует, что концы интервалов получатся “красивыми” – частенько там возникают логарифмы.

Поэтому, чтобы знать, как эти точки располагаются на числовой прямой, нам необходимо уметь сравнивать значения логарифмов (друг с другом и с “обычными” числами).

Это мы также научимся делать.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

4 комментария

  1. Поясните, пожалуйста, во втором уравнении методом логарифмирования почему х= log t. Ведь за t принимали log x

  2. Здравствуйте! У вас в теме “Решение показательных уравнений, основанное на вынесении общего множителя за скобки с последующей группировкой слагаемых” в первом примере допущена ошибка. -1 стоит не в степени 7^x, а отдельно будто из всего вычитается -1. А так всё хорошо, спасибо!

  3. Некоторые комментарии прошлых лет:

    Андр
    17 марта 2018
    Спасибо огромное автору, намного понятнее, чем на других сайтах. Всё просто и расписано до мельчайших подробностей.