Коротко о главном Начальный уровень

Объем. Начальный уровень.

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Пройти пробный ЕГЭ 2017 Пройти пробный ОГЭ 2017

Формула объема куба

Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата  , сейчас мы начнем с куба  .

Объем куба с ребром   метр равен   кубическому метру.

Формула объема куба

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата   и обозначалась она   м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром   называется кубическим метром и обозначается   м.кв.

Что же такое   м.кв.? А вот, смотри:

Формула объема куба 2

Это два кубика с ребром  .

А чему равен объем куба с ребром  ?

Давай считать:

Формула объема куба 3

Сколько в большом кубе (с ребром  ) маленьких (с ребром  )?

Конечно,  . Поэтому объем куба с ребром   равен   кубическим метрам, то есть   м.кв. А ведь   это  .

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром   верна формула.

 куба .

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для  ), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных  .

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

Формула объема куба 4

 

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Сюда вставить теорию из тем:

Формула объема призмы

Главная формула объема призмы

 

  –площадь основания

  – высота

Формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 – то же самое, что

 

Формула объема призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

 

  - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Формула объема призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Формула объема пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Формула объема пирамиды

 

Откуда взялась именно  ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть  , а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Формула объема пирамиды 2

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  . Нужно найти   и  .

  - это площадь правильного треугольника  .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

 .

У нас « » - это  , а « » - это тоже  , а  .

Значит,  .

Теперь найдем  .

Формула объема пирамиды 4

По теореме Пифагора для  

 .

Чему же равно  ? Это радиус описанной окружности в  , потому что пирамидаправильная и, значит,   - центр  .

Найдем   (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

 , так как   - точка пересечения и медиан тоже.

  (теорема Пифагора для  )

 ;  

Значит,  

Подставим   в формулу для  .

 

И подставим все в формулу объема:

 

 .

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.  ), то формула получается такой:

 .

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугльной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

 .

Здесь   и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому  .

Найдем  . По теореме Пифагора для  

 .

Известно ли нам  ? Ну, почти. Смотри:

  (это мы увидели, рассмотрев  ).

Подставляем   в формулу для  :

 ;

 

А теперь и   и   подставляем в формулу объема.

 .

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро  .

 .

Как найти  ? Смотри, шестиугольник   состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

 

Теперь найдем   (это  ).

По теореме Пифагора для  

 ?

Но чему же равно  ? Это просто  , потому что   (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

 

 

Подставляем:

 

 

Тела вращения. Формула объема

Объем шара

Формула объема шара

  

  - радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Объем цилиндра

Формула объема цилиндра

  

  - радиус основания

  - высота

Объем конуса

Формула объема конуса

  

  - радиус основания

  - высота

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги сделать так, чтобы его не закрыли... 

... а мы откроем для тебя ВСЕ скрытые примеры учебника.

Всего 199 руб...

Но твоя помощь бесценна! :)  

Спасибо!

Я хочу помочь YouClever!

Закрыть