Объем. Иллюстрированный гид (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Формула объема куба

Так же, как у плоских фигур кроме длины и ширины есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем. И так же как рассуждения о площади начинаются с квадрата  , сейчас мы начнем с куба  .

Объем куба с ребром   метр равен   кубическому метру.

Формула объема куба

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата   и обозначалась она   м.кв. Ну вот, а объем куба с ребром   называется кубическим метром и обозначается   м.кв.

Что же такое   м.кв.? А вот, смотри:

Формула объема куба 2

Это два кубика с ребром  .

А чему равен объем куба с ребром  ?

Давай считать:

Формула объема куба 3

Сколько в большом кубе (с ребром  ) маленьких (с ребром  )?

Конечно,  . Поэтому объем куба с ребром   равен   кубическим метрам, то есть   м.кв. А ведь   это  .

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром   верна формула.

 куба .

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для  ), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных  .

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

Формула объема куба 4

 

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Сюда вставить теорию из тем:

Формула объема призмы

Главная формула объема призмы

 

  –площадь основания

  – высота

Формула объема призмы

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то   «превращается» в боковое ребро. И тогда

 – то же самое, что

 

Формула объема призмы 2

Необычная формула объёма призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

 

  - площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

  - длина бокового ребра.

Формула объема призмы 3

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Формула объема пирамиды

Главная формула объема пирамиды:

Формула объема пирамиды

 

Откуда взялась именно  ? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть  , а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Формула объема пирамиды 2

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  . Нужно найти   и  .

  - это площадь правильного треугольника  .

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

 .

У нас « » - это  , а « » - это тоже  , а  .

Значит,  .

Теперь найдем  .

Формула объема пирамиды 4

По теореме Пифагора для  

 .

Чему же равно  ? Это радиус описанной окружности в  , потому что пирамидаправильная и, значит,   - центр  .

Найдем   (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

 , так как   - точка пересечения и медиан тоже.

  (теорема Пифагора для  )

 ;  

Значит,  

Подставим   в формулу для  .

 

И подставим все в формулу объема:

 

 .

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е.  ), то формула получается такой:

 .

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Формула объема правильной четырехугльной пирамиды

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро равно  .

 .

Здесь   и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому  .

Найдем  . По теореме Пифагора для  

 .

Известно ли нам  ? Ну, почти. Смотри:

  (это мы увидели, рассмотрев  ).

Подставляем   в формулу для  :

 ;

 

А теперь и   и   подставляем в формулу объема.

 .

Объем правильной шестиугольной пирамиды.

Пусть сторона основания равна  , а боковое ребро  .

 .

Как найти  ? Смотри, шестиугольник   состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

 

Теперь найдем   (это  ).

По теореме Пифагора для  

 ?

Но чему же равно  ? Это просто  , потому что   (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

 

 

Подставляем:

 

 

Тела вращения. Формула объема

Объем шара

Формула объема шара

  

  - радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Объем цилиндра

Формула объема цилиндра

  

  - радиус основания

  - высота

Объем конуса

Формула объема конуса

  

  - радиус основания

  - высота

 

ОБЪЕМ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Формула объема куба:

 

2. Формула объема призмы:

 

3. Объем пирамиды:

 

4. Формулы объема тел вращения

Объем шара

 

  - радиус

Объем цилиндра

 

  - радиус основания

  - высота

Объем конуса

 

  - радиус основания

  - высота

 

P.S. ПОСЛЕДНИЙ БЕСЦЕННЫЙ СОВЕТ :)

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, значит ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ЕГЭ, для поступления в институт на бюджет и, САМОЕ ГЛАВНОЕ, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это - не главное.

Главное то, что они БОЛЕЕ СЧАСТЛИВЫ (есть такие исследования). Возможно потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю...

Но, думай сам...

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

НАБИТЬ РУКУ, РЕШАЯ ЗАДАЧИ ПО ЭТОЙ ТЕМЕ.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время.  

И, если ты не решал их (МНОГО!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь.

Это как в спорте - нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.  

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можно воспользоваться нашими задачами (не обязательно) и мы их, конечно, рекомендуем.

Для того, чтобы набить руку с помощью наших задач нужно помочь продлить жизнь учебнику YouClever, который ты сейчас читаешь.

Как? Есть два варианта:

  1. Открой  доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - Купить статью - 299 руб
  2. Открой доступ ко всем скрытым задачам во всех 99-ти статьях учебника - Купить учебник - 899 руб

Да, у нас в учебнике 99 таких статей и доступ для всех задач и всех скрытых текстов в них можно открыть сразу.

Доступ ко всем скрытым задачам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

И в заключение...

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” - это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Удачи!

Комментарии

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Добрый день!

Закрытые части учебника - только для учеников YouClever.

Оставьте Email и я расскажу вам как им стать и пришлю в качестве бесплатного бонуса доступ к разделу учебника «Базовые темы» (стоимость раздела - 497 руб).

Значимость этого раздела для ЕГЭ - 14 из 100! Он состоит из 15 тем:

  1. НОК и НОД, признаки делимости и методы группировки;
  2. Степень и ее свойства;
  3. 7 волшебных формул сокращенного умножения;
  4. 5 способов разложения многочлена на множители;
  5. Дроби. Рациональные числа. Операции с дробями;
  6. Все о десятичных дробях;
  7. Задачи на проценты. Как найти процент от числа;
  8. Преобразование выражений. Подробная теория;
  9. Сравнение чисел;
  10. Квадратный корень;
  11. Корень и его свойства. Подробная теория с примерами;
  12. Свойства логарифмов и примеры их решений;
  13. Замена переменных;
  14. Модуль числа;
  15. ОДЗ - область допустимых значений.

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть