28 июля

0 comments

Объем. Иллюстрированный гид (ЕГЭ – 2021)

Так же, как у плоских фигур есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем.

И так же, как рассуждения о площади начинаются с квадрата \( \displaystyle 1х1\), рассуждения об объеме начинаются с куба \( \displaystyle 1х1х1\).

Читай эту статью и научишься находить объемы различных фигур!

Как было сказано выше, рассуждения об объеме начинаются с куба \( \displaystyle 1х1х1\).

Объем куба с ребром \( \displaystyle \text{1}\) метр равен \( \displaystyle \text{1}\) кубическому метру.

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата \( \displaystyle 1х1\) и обозначалась она \( \displaystyle \text{1}\) м.кв.

Ну вот, а объем куба с ребром \( \displaystyle \text{1}\) называется кубическим метром и обозначается \( \displaystyle \text{1}\) м.кв.

Что же такое \( \displaystyle \text{2}\) м.кв.? А вот, смотри:

Это два кубика с ребром \( \displaystyle \text{1}\).

А чему равен объем куба с ребром \( \displaystyle \text{2}\)?

Давай считать:

Сколько в большом кубе (с ребром \( \displaystyle \text{2}\)) маленьких (с ребром \( \displaystyle \text{1}\))?

Конечно, \( \displaystyle \text{8}\). Поэтому объем куба с ребром \( \displaystyle \text{2}\) равен \( \displaystyle \text{8}\) кубическим метрам, то есть \( \displaystyle \text{8}\) м.кв.

А ведь \( \displaystyle \text{8}\) это \( \displaystyle \text{23}\).

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром \( \displaystyle \sqrt{239}\) верна формула.

\( \displaystyle V\)куба\( \displaystyle={{a}^{3}}\).

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для \( \displaystyle a=2\)), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных \( \displaystyle a\).

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула для прямоугольного параллелепипеда.

\( \displaystyle V=abc\)

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

\( \displaystyle {{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \) –площадь основания

\( H\) – высота

Эта формула верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\) – то же самое, что

\( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\ \ \ \cdot боковое\ ребро\)

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы .

\( \Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\)

\( {{\text{S}}_{\bot }}\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\( l\) – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Главная формула объема пирамиды

\( \displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H\)

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac{1}{3}\)? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac{1}{3}\), а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{S}_{осн}}\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» - это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}\).

Чему же равно \( \displaystyle OC\)? Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамидаправильная и, значит, \( \displaystyle O\) - центр \( \displaystyle \Delta ABC\).

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac{2}{3}CK\), так как \( \displaystyle O\) - точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

\( \displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\); \( \displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \( \displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}\)

И подставим все в формулу объема:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}\).

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H\).

Здесь \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}\).

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)? Ну, почти. Смотри:

\( \displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}\) (это мы увидели, рассмотрев \( \displaystyle \Delta COD\)).

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\);

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\)

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) подставляем в формулу объема.

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\).

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H\).

Как найти \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\( \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE\)?

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\)

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Подставляем:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\( \displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\( \displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)

\( R\) - радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Однажды сможешь доказать ее сам!

\( V=\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

\( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

1. Формула объема куба:

\( \displaystyle V=abc\)

2. Формула объема призмы:

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

3. Объем пирамиды:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \ \cdot \text{H}\)

4. Формулы объема тел вращения

Объем шара

\( \displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)

\( R\) – радиус

Объем цилиндра

\( V=\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Объем конуса

\( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Твоя очередь!

Мы рассказали тебе все о нахождении объема основных фигур. 

А теперь ты расскажи нам, понравилась ли тебе статья 🙂 Как она тебе?

Была ли она полезной? Для чего ты захотел узнать формулы объема?

Напиши в комментариях ниже!

Если у тебя есть вопросы, задавай! Мы ответим!

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>