Объемы фигур (ЕГЭ 2022)

Так же, как у плоских фигур есть такая характеристика, как площадь, у объемных тел есть… объем.

И так же, как рассуждения о площади начинаются с квадрата (1×1), рассуждения об объеме начинаются с куба (1x1x1).

Читай эту статью и научишься находить объемы различных фигур!

Объемы фигур – коротко о главном

Объем куба

\( \displaystyle V=abc\)

Объем призмы

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

Объем пирамиды

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \ \cdot \text{H}\)

Объем шара

\( \displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)

\( R\) – радиус

Объем цилиндра

\( V=\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Объем конуса

\( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Объем куба

Как было сказано выше, рассуждения об объеме начинаются с куба \( \displaystyle 1х1х1\).

Объем куба с ребром \( \displaystyle \text{1}\) метр равен \( \displaystyle \text{1}\) кубическому метру.

Помнишь, квадратный метр – это была площадь квадрата \( \displaystyle 1х1\) и обозначалась она \( \displaystyle \text{1}\) м.кв.

Ну вот, а объем куба с ребром \( \displaystyle \text{1}\) называется кубическим метром и обозначается \( \displaystyle \text{1}\) м.кв.

Что же такое \( \displaystyle \text{2}\) м.кв.? А вот, смотри:

Это два кубика с ребром \( \displaystyle \text{1}\).

А чему равен объем куба с ребром \( \displaystyle \text{2}\)?

Давай считать:

Сколько в большом кубе (с ребром \( \displaystyle \text{2}\)) маленьких (с ребром \( \displaystyle \text{1}\))?

Конечно, \( \displaystyle \text{8}\). Поэтому объем куба с ребром \( \displaystyle \text{2}\) равен \( \displaystyle \text{8}\) кубическим метрам, то есть \( \displaystyle \text{8}\) м.кв.

А ведь \( \displaystyle \text{8}\) это \( \displaystyle \text{23}\).

И представь себе, это для любого куба, даже с ребром \( \displaystyle \sqrt{239}\) верна формула.

\( \displaystyle V\)куба\( \displaystyle={{a}^{3}}\)

Эту формулу легко доказать для целых a (мы уже видели доказательство для \( \displaystyle a=2\)), чуть сложнее – для рациональных и совсем сложно для иррациональных \( \displaystyle a\).

Но мы пойдем дальше.

Подобным же образом получается формула объема для прямоугольного параллелепипеда.

Объем прямоугольного параллелепипеда

\( \displaystyle V=abc\)

Звучит это так:

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению его измерений – длины, ширины и высоты.

А дальше… начинается множество формул.

Объем призмы

Главная формула объема призмы

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\)

\( \displaystyle {{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \) –площадь основания

\( H\) – высота

Эта формула объема призмы верна для любой призмы, но если призма прямая, то \( H\) «превращается» в боковое ребро. И тогда

\( \displaystyle V={{S}_{\text{основания}}}\ \ \ \ \cdot \text{H}\) – то же самое, что

\( \displaystyle V=S{{\ }_{основания}}\ \ \ \cdot боковое\ ребро\)

Необычная формула объема призмы

Представь себе, есть ещё одна, «перевёрнутая» формула для объёма призмы.

\( \Large \text{V}={{\text{S}}_{\bot }}\cdot l\)

\( {{\text{S}}_{\bot }}\) – площадь сечения, перпендикулярного боковому ребру,

\( l\) – длина бокового ребра.

Используется ли эта формула в задачах? Честно говоря, довольно редко, так что можешь ограничиться знанием основной формулы объёма.

Объем пирамиды

Главная формула объема пирамиды

\( \displaystyle \Large V=\frac{1}{3}{{S}_{осн}}\cdot H\)

Откуда взялась именно \( \displaystyle \frac{1}{3}\)? Это не так уж просто, и на первых порах нужно просто запомнить, что у пирамиды и конуса в формуле объема есть \( \displaystyle \frac{1}{3}\), а у пирамиды и цилиндра – нет.

Теперь давай посчитаем объем самых популярных пирамид.

Объем правильной треугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\). Нужно найти \( \displaystyle {{S}_{осн}}\) и \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{S}_{осн}}\) – это площадь правильного треугольника \( \displaystyle ABC\).

Вспомним, как искать эту площадь. Используем формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ab\cdot \sin \gamma \).

У нас «\( \displaystyle a\)» – это \( \displaystyle a\), а «\( \displaystyle b\)» – это тоже \( \displaystyle a\), а \( \displaystyle \sin \gamma =\sin 60{}^\circ =\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Значит, \( \displaystyle {{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}{{a}^{2}}\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\).

Теперь найдем \( \displaystyle H\).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOC\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}\).

Чему же равно \( \displaystyle OC\)? Это радиус описанной окружности в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что пирамидаправильная и, значит, \( \displaystyle O\) – центр \( \displaystyle \Delta ABC\).

Найдем \( \displaystyle OC\) (Подробнее смотри в теме «Правильный треугольник»).

\( \displaystyle OC=\frac{2}{3}CK\), так как \( \displaystyle O\) – точка пересечения и медиан тоже.

\( \displaystyle C{{K}^{2}}=A{{C}^{2}}-A{{K}^{2}}\) (теорема Пифагора для \( \displaystyle \Delta ACK\))

\( \displaystyle C{{K}^{2}}-{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\); \( \displaystyle CK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Значит, \( \displaystyle OC=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)

Подставим \( \displaystyle OC\) в формулу для \( \displaystyle H\).

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{C}^{2}}={{b}^{2}}-{{\left( \frac{a\sqrt{3}}{3} \right)}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}\)

И подставим все в формулу объема:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{ABC}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\)

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{12}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}\).

Внимание: если у тебя правильный тетраэдр (т.е. \( \displaystyle b=a\)), то формула получается такой:

\( \displaystyle V=\frac{{{a}^{3}}}{6\sqrt{2}}\).

Объем правильной четырехугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро равно \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}H\).

Здесь \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) и искать не нужно; ведь в основании – квадрат, и поэтому \( \displaystyle {{S}_{OCH}}={{a}^{2}}\).

Найдем \( \displaystyle H\). По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOD\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-O{{D}^{2}}\).

Известно ли нам \( \displaystyle OD\)?

Ну, почти. Смотри:

\( \displaystyle OD=a\cdot \cos 45{}^\circ =\frac{a}{\sqrt{2}}\) (это мы увидели, рассмотрев \( \displaystyle \Delta COD\)).

Подставляем \( \displaystyle OD\) в формулу для \( \displaystyle H\):

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}\);

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\)

А теперь и \( \displaystyle H\) и \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\) подставляем в формулу объема.

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H=\frac{1}{3}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{2}}\).

Объем правильной шестиугольной пирамиды

Пусть сторона основания равна \( \displaystyle a\), а боковое ребро \( \displaystyle b\).

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OCH}}\cdot H\).

Как найти \( \displaystyle {{S}_{OCH}}\)? Смотри, шестиугольник \( \displaystyle ABCDEF\) состоит ровно из шести одинаковых правильных треугольников. Площадь правильного треугольника мы уже искали при подсчете объема правильной треугольной пирамиды, здесь используем найденную формулу.

\( \displaystyle {{S}_{ABCDEF}}=6\cdot {{S}_{AOF}}=6\cdot \frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\)

Теперь найдем \( \displaystyle H\) (это \( \displaystyle SO\)).

По теореме Пифагора для \( \displaystyle \Delta SOE\)

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-OE\)?

Но чему же равно \( \displaystyle OE\)? Это просто \( \displaystyle a\), потому что \( \displaystyle \Delta EOF\) (и все остальные тоже) правильный.

Значит,

\( \displaystyle {{H}^{2}}={{b}^{2}}-{{a}^{2}}\)

\( \displaystyle H=\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Подставляем:

\( \displaystyle V=\frac{1}{3}{{S}_{OSN}}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}{{a}^{2}}}{2}\cdot \sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

\( \displaystyle V=\frac{\sqrt{3}}{2}{{a}^{2}}\sqrt{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}\)

Тела вращения

Еще о телах вращения здесь.

Объем шара

\( \displaystyle {{V}_{\text{шара}}}\ \ \ \ \ =\frac{4}{3}\pi {{R}^{3}}\)

\( R\) – радиус

Это еще одна хитрая формула, которую придется запомнить, не понимая, откуда она взялась.

Однажды сможешь доказать ее сам!

Объем цилиндра

\( V=\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Объем конуса

\( V=\frac{1}{3}\pi {{R}^{2}}H\)

\( R\) – радиус основания

\( H\) – высота

Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике

ЕГЭ №14 по профильной математике. Стереометрия

Для того, чтобы решать успешно ЕГЭ №14 по профильной математике, нужно великолепно знать основные теоремы планиметрии, уметь рассчитывать расстояния, площади и объемы плоских и объемных фигур.

Но самое сложное, нужно научиться строить доказательства с помощью этих теорем и правильно их записывать.

ЕГЭ №8. Расстояния и углы в пространстве на примере куба, параллелепипеда и призмы

Итак, задание №8 из профильного ЕГЭ.

Задачи на нахождение расстояний и углов в пространстве в объемных фигурах (куб, параллелепипед, призма) и комбинированных фигурах.

Вы также можете посмотреть разбор всех остальных задач из первой части профильного ЕГЭ.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

К ЕГЭ можно подготовиться абсолютно бесплатно. У нас на сайте полно качественных материалов. Но вы должны знать что вы делаете. 

  • У вас должен быть план, чтобы вы шли от простого к сложному и не «захлебнулись». 
  • Вас должен кто-то проверять и указывать короткий путь, чтобы вы не теряли время.
  • Вас должен кто-то мотивировать, чтобы вы не бросили все.

Если у вас с этим сложности, приходите к нам.

И если вам нужен действительно высокий балл, приходите на наши курсы: 

Мы качественно готовим к ЕГЭ даже тех, у кого «нет способностей».

Твоя очередь!

Мы рассказали тебе все о нахождении объема основных фигур. 

А теперь ты расскажи нам, понравилась ли тебе статья 🙂 Как она тебе?

Была ли она полезной? Для чего ты захотел узнать формулы объема?

Напиши в комментариях ниже!

Если у тебя есть вопросы, задавай! Мы ответим!

Удачи!

Поделитесь в социальных сетях:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *