Рациональные неравенства. Подробная теория с примерами (2020)

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Рациональные неравенства – это неравенства, обе части которых являются рациональными выражениями.

Что такое рациональное выражение? Напомню:

Рациональное выражение - это алгебраическое выражение, составленное из чисел и переменной   с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с натуральным показателем.

Например, такое рациональное неравенство:  

Решение всех рациональных неравенств сводится к двум основным шагам:

Шаг 1. Переносим все в одну сторону, приводим к общему знаменателю и раскладываем числитель и знаменатель на множители. Все множители должны быть «линейными», то есть переменная в каждом из них – только в первой степени. Если какой-то из множителей нелинейный, и его невозможно разложить на линейные, от него надо избавиться.

Если забыл, как раскладывать выражение на множители, прочти тему «Разложение многочленов на множители».

Шаг 2. Метод интервалов.

Если не знаешь, что это такое, прочти тему «Метод интервалов».

Первый шаг у нас уже раньше встречался. Где? В рациональных уравнениях! Но в отличие от уравнений, в неравенствах мы никогда не разделяем числитель и знаменатель! Более того, если в числителе и знаменателе есть одинаковые нечисловые множители, мы их не сокращаем! Это правило у нас уже было в теме «Метод интервалов». И вообще, в этой теме мы уже учились решать рациональные неравенства. Поэтому здесь ограничимся отдельными примерами.

Пример 1.

 

Решение:

Очень распространенной ошибкой здесь будет домножить все на знаменатель. Делать этого нельзя: мы ведь не знаем какой знак имеет выражение  ; но при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется! А на положительное – не меняется. Так что, менять нам знак или нет? Лучше просто не умножать! Следуем нашим двум шагам: переносим все в одну сторону.

 

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.1

Почему корень выколотый? Потому что он из знаменателя!

 

Пример 2.

 

Решение:

 

 

 

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.2

 

Пример 3.

 

Решение:

Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, разложим их знаменатели на множители. Это квадратные трехчлены, надо вспомнить, как их раскладывают на множители? (подробное описание см. в разделе «Разложение на множители»). Напомню, что для этого нужно найти корни соответствующих квадратных уравнений:

 

Решим их с помощью теоремы Виета: у первого корни   и  , у второго   и  .

 

Для того, чтобы разложить на множители числитель, так же как и раньше, решим соответствующее квадратное уравнение:

 

Вернемся к неравенству. Оно принимает вид:

 

Теперь нужно расположить эти корни на числовой оси, а для этого надо понять, где находятся числа   и   относительно  ,   и  . Подробно о том, как это делается, читай в теме «Сравнение чисел» .

 

 

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.3

 

Пример 4.

 

Решение:

Ты уже попробовал привести к общему знаменателю? Ужас, правда? Но ты не мог не заметить, что куда ни посмотри, нам все время попадается одно и то же выражение  . А это верный знак, что сейчас будет замена переменных (повтори одноименную тему «Замена переменных»):

 

Тогда наше неравенство принимает вид:

 

Такое мы решать уже умеем:

 

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.4

 

Не забываем вернуться к начальной переменной –  . Для этого нужно переписать полученное решение для   в виде неравенств:

 

 

 

 

 

 

Рациональные неравенства, метод интервалов рис.5

 

 

РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Рациональное неравенство - неравенство, левая и правая части которого являются дробно-рациональными функциями, то есть функциями, представимыми в виде отношения многочленов   и  .

Стандартный вид рационального неравенства:  .

Строгие рациональные неравенства:

  •  , тогда и только тогда, когда  ;
  •  , тогда и только тогда, когда  .

Нестрогие рациональные неравенства:

  •  
  •  

Алгоритм решения рациональных неравенств:

  1. Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю, чтобы получить рациональное неравенство в стандартном виде:  ;
  2. Раскладываем числитель ( ) и знаменатель ( ) на множители. Для этого решаем уравнения   и  ;
  3. Находим ОДЗ ( );
  4. Отмечаем на числовой оси нули числителя и нули знаменателя;
  5. Определяем знаки для каждого интервала. Для этого берем произвольный   из одного из интервалов и определяем знак в интервале к которому относится корень, чередуем знаки, обращая внимание на корни, повторяющиеся в неравенстве несколько раз, от четности или нечетности количества раз их повторения зависит, меняется знак при прохождении через них или нет;
  6. Выбираем интервалы, на которых значения функции имеют знак, соответствующий знаку неравенства;
  7. Записываем ответ, обращая внимания на знак неравенства и на ОДЗ. Если неравенство строгое - все точки выколотые; если неравенство нестрогое - нули знаменателя - выколотые точки (по ОДЗ), а нули числителя - не выколотые точки.

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER

Получить доступ к учебнику YouClever без ограничений можно кликнув по этой ссылке:

 ПОЛУЧИТЬ ДОСТУП К УЧЕБНИКУ YOUCLEVER!

 

 

 

Комментарии

alesha
08 июля 2018

Почему на второй прямой у Вас x принадлежит (-∞;-1) и (2;+∞), если на этих интервалах неравенство больше нуля, а нам нужно меньше? Т.е (-1;2)

ответить

Алексей Шевчук
10 февраля 2019

Вторая прямая в примере 4 соответствует неравенству (x-2)(x+1)>0, там всё верно.

ответить

Муниса
09 марта 2019

Пример 3, четвёртая строчка, у вас ошибка при раскрытии скобки( там будет -3х)

ответить

Муниса
09 марта 2019

В 4 примере t(t+4), а не t(t-4)

ответить

Алексей Шевчук
10 марта 2019

Муниса, спасибо за найденные ошибки!

ответить

мой повелитель
28 апреля 2019

в третьем примере, при приведении слагаемых к общему знаменателю допущена ошибка. Вы перемножаете на несуществующий множитель второе слагаемое.

ответить

Алексей Шевчук
11 мая 2019

Спасибо, исправил

ответить

Спасибо за сообщение!

Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.

Ok

Привет!

2/3 статьи, а также разбор задач доступны только ученикам YouClever.

Если вы хотите им стать, пройдите по ссылке и ознакомьтесь с условиями.

Или оставьте Email и получите доступ к 5-ти статьям учебника бесплатно.

Удачи,
Александр Кель

Оставить Email

Имя

E-mail

Кто Вы?

Класс

Отправить Закрыть

Привет! 

Нравится наш учебник? Помоги продлить ему жизнь... 

... а мы откроем тебе доступ ко всем скрытым задачам в этой статье - 299 руб,

... или ко всем скрытым задачам во всех 99 статьях учебника - 899 руб.

Доступ ко всем текстам и программам предоставляется на ВСЕ время существования сайта.

Хочу помочь YouClever - 299 руб
Хочу помочь YouClever - 899 руб.

Я уже зарегистрирован / оплатил

Закрыть

Привет!

При регистрации на твой email ушло письмо, содержащее ссылку для подтверждения, пройди по ней, а затем обнови эту страницу.

 

Обновить страницу

Закрыть