Теорема синусов

Теорема синусов. Доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр \( \displaystyle BO\).

Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке \( \displaystyle K\). Давай рассмотрим \( \displaystyle \Delta BKC\).

Что же это за треугольник?

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в \( \displaystyle \Delta BKC\) угол \( \displaystyle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90{}^\circ \) (вспоминаем тему «Вписанный и центральный угол окружности»).

Но и кроме того, \( \displaystyle \angle K\) в \( \displaystyle \Delta BKC\) равен \( \displaystyle \angle A\) в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что эти углы опираются на одну дугу \( \displaystyle BC\) (опять вспоминаем ту же тему).

А теперь просто запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta BKC\) \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{BK}\).

Но ведь \( \displaystyle BK\) – диаметр \( \displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R\), и \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{2R}\).

Вспомним, что \( \displaystyle \angle K=\angle A\) и получим \( \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=2R\).

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\)? – спросишь ты.

Да, точно также. Давай рассмотрим \( \displaystyle \angle B\).

Теперь проведём диаметр \( \displaystyle AO\) и соединим точки \( \displaystyle K\) и \( \displaystyle C\).

Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? \( \displaystyle \Delta AKC\), конечно, прямоугольный, так как \( \displaystyle \angle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle AK\).

Но теперь \( \displaystyle \angle K+\angle B=180{}^\circ \), потому что четырехугольник \( \displaystyle ABCK\) – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла \( \displaystyle A\) у нас было \( \displaystyle \angle A=\angle K\).) В чём же дело?

Ну, просто \( \displaystyle \angle B\) – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся.

Итак, запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta AKC\).

\( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{AK}\); то есть \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{2R}\)

Но \( \displaystyle \angle B=180{}^\circ -\angle K\Rightarrow \sin \angle B=\sin \angle K\) (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит, \( \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\sin \angle B}=2R\).

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле \( \displaystyle C\), то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается.

Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

в такой последовательности:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sin \angle A}=2R\\\frac{b}{\sin \angle B}=2R\hspace{13mm}\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array} \right.\)