28 июля

0 comments

Теорема синусов. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Привет! 

Существуют две теоремы, свзанные с тригонометрией, которые могут оказать тебе огромную услугу в решении задач.

Особенно в решении задач продвинутого уровня, за которые можно получит неплохие баллы на экзамене!

О теореме косинусов можешь прочитать в другой статье, а здесь мы поговорим про теорему синусов. Легкую и полезную.

Поехали!

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Для любого \( \displaystyle \Delta ABC\)
\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)
(здесь \( \displaystyle R\) – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще \( \displaystyle R\)?». Вот давай именно с него и начнём.

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр \( \displaystyle BO\).

Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке \( \displaystyle K\). Давай рассмотрим \( \displaystyle \Delta BKC\). Что же это за треугольник?

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в \( \displaystyle \Delta BKC\) угол \( \displaystyle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90{}^\circ \) (вспоминаем тему «Окружность. Вписанный угол»).

Но и кроме того, \( \displaystyle \angle K\) в \( \displaystyle \Delta BKC\) равен \( \displaystyle \angle A\) в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что эти углы опираются на одну дугу \( \displaystyle BC\) (опять вспоминаем ту же тему…).

А теперь просто запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta BKC\) \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{BK}\).

Но ведь \( \displaystyle BK\) – диаметр \( \displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R\), и \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{2R}\).

Вспомним, что \( \displaystyle \angle K=\angle A\) и получим \( \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=2R\).

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\)? – спросишь ты. Да, точно также. Давай рассмотрим \( \displaystyle \angle B\).

Теперь проведём диаметр \( \displaystyle AO\) и соединим точки \( \displaystyle K\) и \( \displaystyle C\).

Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? \( \displaystyle \Delta AKC\), конечно, прямоугольный, так как \( \displaystyle \angle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle AK\).

Но теперь \( \displaystyle \angle K+\angle B=180{}^\circ \), потому что четырехугольник \( \displaystyle ABCK\) – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла \( \displaystyle A\) у нас было \( \displaystyle \angle A=\angle K\).) В чём же дело?

Ну, просто \( \displaystyle \angle B\) – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся.

Итак, запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta AKC\).

\( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{AK}\); то есть \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{2R}\)

Но \( \displaystyle \angle B=180{}^\circ -\angle K\Rightarrow \sin \angle B=\sin \angle K\) (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит, \( \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\sin \angle B}=2R\).

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле \( \displaystyle C\), то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается.

Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

в такой последовательности:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sin \angle A}=2R\\\frac{b}{\sin \angle B}=2R\hspace{13mm}\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array} \right.\)

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы.

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует \( \displaystyle R\)?! Возможно, правда, ты знаком с формулой \( \displaystyle S=\frac{abc}{4R}\), то есть \( \displaystyle R=\frac{abc}{4S}\quad\), но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов: \( \displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}\)

Из формулы площади: \( \displaystyle R=\frac{abc}{4S}\).

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить?

А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула \( \displaystyle S=\frac{abc}{4R}\) как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов. Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга и его частей», «Площадь треугольника и четырехугольника».

Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол, но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности. Запомни это очень хорошо!

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Для любого \( \displaystyle \Delta ABC\):
\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)
(здесь \( \displaystyle R\) – радиус описанной окружности)

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

Итак, что думаешь? 🙂

Теорема синусов позволит тебе не только найти сторону или угол, но и радиус окружности. Круто, да?

Сегодня ты научился ей пользоваться! Это значит, что теперь тебе стоит заглянуть к теореме косинусов.

А сейчас мы хотим узнать твое мнение об этой статье! Помогла ли она тебе? 

Напиши внизу в комментариях! 

А еще можешь задать любой вопрос. Мы ответим.

Удачи!

{"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
>