Теорема синусов

Привет! 

Существуют две теоремы, свзанные с тригонометрией, которые могут оказать тебе огромную услугу в решении задач – теорема синусов и теорема косинусов.

Особенно в решении задач продвинутого уровня, за которые можно получит неплохие баллы на экзамене!

О теореме косинусов можешь прочитать пройдя по ссылке, а здесь мы поговорим про теорему синусов. Легкую и полезную.

Поехали!

Теорема синусов – коротко о главном

Для любого \( \displaystyle \Delta ABC\):

\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

(здесь \( \displaystyle R\) – радиус описанной окружности)

Теорема синусов – подробнее

Что же нам сообщает теорема синусов? Вероятнее всего, что-нибудь о синусах, не правда ли? Давай сформулируем.

Для любого \( \displaystyle \Delta ABC\)\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)(здесь \( \displaystyle R\) – радиус описанной окружности).

Первый вопрос, который возникает при взгляде на эту формулу: «Но при чём же здесь вообще \( \displaystyle R\)?».

Вот давай именно с него и начнём.

Теорема синусов. Доказательство

Тебе уже известно, что около каждого треугольника можно описать окружность. Мы это и сделаем. А потом проведём диаметр \( \displaystyle BO\).

Пусть этот диаметр пересекает окружность в точке \( \displaystyle K\). Давай рассмотрим \( \displaystyle \Delta BKC\).

Что же это за треугольник?

Ну, конечно же, прямоугольный, ведь в \( \displaystyle \Delta BKC\) угол \( \displaystyle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle BK\quad\Rightarrow \quad\angle C=90{}^\circ \) (вспоминаем тему “Вписанный и центральный угол окружности”).

Но и кроме того, \( \displaystyle \angle K\) в \( \displaystyle \Delta BKC\) равен \( \displaystyle \angle A\) в \( \displaystyle \Delta ABC\), потому что эти углы опираются на одну дугу \( \displaystyle BC\) (опять вспоминаем ту же тему).

А теперь просто запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta BKC\) \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{BK}\).

Но ведь \( \displaystyle BK\) – диаметр \( \displaystyle \quad\Rightarrow\quad BK=2R\), и \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{a}{2R}\).

Вспомним, что \( \displaystyle \angle K=\angle A\) и получим \( \displaystyle \sin \angle A=\frac{a}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=2R\).

Вот и всё! Провели одну линию, рассмотрели один прямоугольный треугольник – и доказательство готово.

Но как же быть с углами \( \displaystyle B\) и \( \displaystyle C\)? – спросишь ты.

Да, точно также. Давай рассмотрим \( \displaystyle \angle B\).

Теперь проведём диаметр \( \displaystyle AO\) и соединим точки \( \displaystyle K\) и \( \displaystyle C\).

Как-то тут немного по-другому получается, ты заметил? \( \displaystyle \Delta AKC\), конечно, прямоугольный, так как \( \displaystyle \angle C\) опирается на диаметр \( \displaystyle AK\).

Но теперь \( \displaystyle \angle K+\angle B=180{}^\circ \), потому что четырехугольник \( \displaystyle ABCK\) – вписанный. (Надеюсь, ты ещё помнишь, что для угла \( \displaystyle A\) у нас было \( \displaystyle \angle A=\angle K\).) В чём же дело?

Ну, просто \( \displaystyle \angle B\) – тупой, поэтому и получилось такое различие. Но, к счастью, для теоремы синусов это различие не играет роли. Сейчас мы в этом убедимся.

Итак, запишем выражение для синуса \( \displaystyle \angle K\) в прямоугольном \( \displaystyle \Delta AKC\).

\( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{AK}\); то есть \( \displaystyle \sin \angle K=\frac{b}{2R}\)

Но \( \displaystyle \angle B=180{}^\circ -\angle K\Rightarrow \sin \angle B=\sin \angle K\) (читаем или вспоминаем формулы приведения в тригонометрии.)

Значит, \( \displaystyle \sin \angle B=\frac{b}{2R}\quad\Rightarrow\quad \frac{b}{\sin \angle B}=2R\).

Ну вот, мы рассмотрели и острый, и тупой угол. Если ты все ещё беспокоишься об угле \( \displaystyle C\), то проделай все те же действия самостоятельно и убедись, что все получается.

Обрати внимание, что мы доказали «четверное равенство».

\( \displaystyle \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\)

в такой последовательности:

\( \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{a}{\sin \angle A}=2R\\\frac{b}{\sin \angle B}=2R\hspace{13mm}\Rightarrow\quad \frac{a}{\sin \angle A}=\frac{b}{\sin \angle B}=\frac{c}{\sin \angle C}=2R\\\frac{c}{\sin \angle C}=2R\end{array} \right.\)

А теперь внимание! Обсудим пользу этой теоремы

Понимаешь, теорема синусов – единственный разумный способ для нахождения радиуса описанной окружности.

Почему я так говорю? А ты вспомни сам: ну где ещё в формулах участвует \( \displaystyle R\)?! Возможно, правда, ты знаком с формулой \( \displaystyle S=\frac{abc}{4R}\), то есть \( \displaystyle R=\frac{abc}{4S}\quad\), но!

Давай – ка сравним:

Из теоремы синусов: \( \displaystyle R=\frac{a}{2\sin \angle A}\)

Из формулы площади: \( \displaystyle R=\frac{abc}{4S}\).

Чувствуешь разницу? В первой формуле нужно знать только одну сторону и один угол, а во второй формуле – все стороны, да ещё и площадь! Ну и какую формулу легче применить?

А кроме того, открою тебе маленький секрет: формула \( \displaystyle S=\frac{abc}{4R}\) как раз и доказывается именно с применением теоремы синусов.

Чтобы убедиться в этом, читай темы «Площадь круга», «Площадь треугольника и четырехугольника».

Итак, теорема синусов бывает полезна и для нахождения синуса какого – то угла, если известны две стороны и один угол.

Но в основном теорема синусов – главный инструмент для нахождения радиуса описанной окружности.

Запомни это очень хорошо!

Бонус: Вебинар из нашего курса подготовки к ЕГЭ

ЕГЭ 6, 14, 16. Теорема косинусов и синусов

Универсальный инструмент при решении треугольников – это теоремы косинусов и синусов.

А как мы уже знаем, почти любая задача в планиметрии сводится именно к треугольникам.

На этом уроке мы выучим сами теоремы и научимся применять их при решении задач первой части.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук – ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж – 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов – как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: “Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами”.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *