Подобие треугольников. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое «подобные треугольники»?

Вроде как «похожие», но как это понимать?

Вот, например, такой и такой:

Подобные треугольники. Пример 1

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 2

Похожи!

А вот такой и такой?

Подобные треугольники. Пример 3

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \(\displaystyle 5\), или, в \(\displaystyle 7\), или в \(\displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \(\displaystyle ABC\) подобен треугольнику \(\displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)» с помощью такого значка:

\(\displaystyle {}  \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \)

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \(\displaystyle k\).

То есть, если

\(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \(\displaystyle k\), то это означает что

4

\[\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\]

и \[\frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\]

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон. И они придумали признаки подобия треугольников.

Проверь себя — реши задачи на подобие треугольников.

1. Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Первый признак подобия

\(\displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\angle C=\angle {{C}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Помнишь еще, что «\(\displaystyle \sim{\ }\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак. Но есть и еще два. Смотри.

2. Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Второй признак подобия

\(\displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Проверь себя — реши задачи на подобие треугольников.

3. Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Подобие треугольников. Третий признак подобия

\(\displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Полезный секрет.

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Скажем, ты установил, что \(\displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \(\displaystyle 2\). Так, кстати, часто бывает, когда проводят среднюю линию…

Подобие треугольников. Пример 1 Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда ВСЕ элементы одного треугольника ровно в \(\displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

НЕ ТОЛЬКО стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д. Есть одно ВАЖНОЕ исключение: ПЛОЩАДЬ. Запомни:

Отношение площадей подобных треугольников равно КВАДРАТУ коэффициента подобия.
Подобие треугольников. Пример 2 \(\displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\)

Почему так? А вспомни самую простую формулу площади:

\(\displaystyle S=\frac{1}{2}ah\)

Ведь \(\displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}{{a}_{1}}{{h}_{1}}\), и при этом

Площадь подобных треугольников

\(\displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=k\), то есть \(\displaystyle a={{a}_{1}}\cdot k\)

\(\displaystyle \frac{h}{{{h}_{1}}}=k\), то есть \(\displaystyle h={{h}_{1}}\cdot k\)

Значит, \(\displaystyle S=\frac{1}{2}k{{a}_{1}}\cdot k{{h}_{1}}=\frac{1}{2}{{k}^{2}}\cdot {{a}_{1}}{{h}_{1}}\).

То есть \(\displaystyle S={{k}^{2}}\cdot {{S}_{1}}\) или \(\displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\).

Проверь себя — реши задачи на подобие треугольников.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *