26 июля

1 comments

Подобие треугольников. Визуальный гид (ЕГЭ – 2021)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое «подобные треугольники»?

Вроде как «похожие», но как это понимать?

Читай эту статью и все поймешь!

Что такое подобные треугольники?

Вот, например, такой и такой:

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А такой и такой?

Похожи!

А вот такой и такой?

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \( \displaystyle 5\), или, в \( \displaystyle 7\), или в \( \displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \( \displaystyle ABC\) подобен треугольнику \( \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)» с помощью такого значка:

\( \displaystyle {} \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \)

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \( \displaystyle k\).

То есть, если

\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle k\), то это означает что

\(\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\)

и \( \displaystyle \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\)

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон. И они придумали признаки подобия треугольников.

Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\angle C=\angle {{C}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Помнишь еще, что «\( \displaystyle \sim{\ }\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

Но есть и еще два. Смотри.

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

\( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Самый главный секрет

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Скажем, ты установил, что \( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle 2\). Так, кстати, часто бывает, когда проводят среднюю линию…

Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда ВСЕ элементы одного треугольника ровно в \( \displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

НЕ ТОЛЬКО стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д. Есть одно ВАЖНОЕ исключение: ПЛОЩАДЬ. Запомни:

Отношение площадей подобных треугольников равно КВАДРАТУ коэффициента подобия.

\( \displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\)

Почему так? А вспомни самую простую формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ah\)

Ведь \( \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}{{a}_{1}}{{h}_{1}}\), и при этом

\( \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=k\), то есть \( \displaystyle a={{a}_{1}}\cdot k\)

\( \displaystyle \frac{h}{{{h}_{1}}}=k\), то есть \( \displaystyle h={{h}_{1}}\cdot k\)

Значит, \( \displaystyle S=\frac{1}{2}k{{a}_{1}}\cdot k{{h}_{1}}=\frac{1}{2}{{k}^{2}}\cdot {{a}_{1}}{{h}_{1}}\).

То есть \( \displaystyle S={{k}^{2}}\cdot {{S}_{1}}\) или \( \displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\).

КОРОТКО О ГЛАВНОМ

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \( \displaystyle k\).

Если \( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle k\), то:

\( \angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\)

\( \displaystyle \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \displaystyle \frac{{{P}_{ABC}}}{{{P}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \displaystyle \frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}={{k}^{2}}\).

Признаки подобия треугольников:

I признак (по двум углам):

\( \displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \( \displaystyle \angle C=\angle {{C}_{1}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

II признак (по одному углу и отношению заключающих его сторон):

\( \displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

III признак (по отношению трех сторон):

\( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

P.S. Последний бесценный совет 🙂

Ну вот, тема закончена. Если ты читаешь эти строки, значит, ты очень крут.

Почему?

Потому что только 5% людей способны освоить что-то самостоятельно. И если ты дочитал до конца, ты попал в эти 5%!

Теперь самое главное.

Ты разобрался с теорией по этой теме. И, повторюсь, это… это просто супер! Ты уже лучше, чем абсолютное большинство твоих сверстников.

Проблема в том, что этого может не хватить…

Для чего?

Для успешной сдачи ОГЭ или ЕГЭ, для поступления в 10 класс или в институт на бюджет и, самое главное, для жизни.

Я не буду тебя ни в чем убеждать, просто скажу одну вещь…

Люди, получившие хорошее образование, зарабатывают намного больше, чем те, кто его не получил. Это статистика.

Но и это не главное.

Главное то, что они более счастливы (есть такие исследования). Возможно, потому, что перед ними открывается гораздо больше возможностей и жизнь становится ярче? Не знаю…

Но думай сам…

Что нужно, чтобы быть наверняка лучше других на ОГЭ или ЕГЭ и быть в конечном итоге… более счастливым?

Набить руку, решая задачи.

На экзамене у тебя не будут спрашивать теорию.

Тебе нужно будет решать задачи на время. И, если ты не решал их (много!), ты обязательно где-нибудь глупо ошибешься или просто не успеешь. Это как в спорте: нужно много раз повторить, чтобы выиграть наверняка.

Найди где хочешь сборник, обязательно с решениями, подробным разбором и решай, решай, решай!

Можешь воспользоваться нашим сборником задач с подробным разбором, и мы их всячески рекомендуем, потому что они разбиты по темам, по типам и даже собраны в целую программу подготовки.

Если решишь набить руку с помощью наших задач, зайди на сайт 100gia и приобрети одну из программ.

А еще можешь зарегистрироваться и получить доступ к огромному количеству бесплатных материалов, видеоуроков, тестов.

После регистрации ты сможешь:

  • проверить свою готовность к каждому типу задач на ЕГЭ (пройдя тест);
  • подтянуть слабые места с помощью видеоуроков, вебинаров;
  • понять тему с помощью статей учебника YouClever;
  • набить руку, решая задачи и получая проверку и решения;
  • сдать пробный ЕГЭ и получить сразу оценку и разбор ошибок.

Бонус: информатика и физика.

И в заключение…

Если наши задачи тебе не нравятся, найди другие. Только не останавливайся на теории.

“Понял” и “Умею решать” – это совершенно разные навыки. Тебе нужны оба.

Найди задачи и решай!

"И если ты давно хотела что-то мне сказать, то говори..."

Подобие треугольников поможет тебе во многих задачах. И теперь ты знаешь о нем все!

Расскажи нам, помогла ли тебе эта статья? Ты хорошо различаешь признаки подобия и равенства? 

Напиши в комментариях внизу!

Если у тебя остались вопросы, задай их! Мы обязательно ответим и во всем разберемся.

Успехов!

  • Александр Кель:

    Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Иван
    15 ноября 2019
    В 3 признаке подобия, как мне кажется, ошибка. Не три стороны должны быть пропорциональны, а всего лишь две.

    Алексей Шевчук
    15 ноября 2019
    Иван, вы путаете с признаком «по двум углам»: если пропорциональны только 2 стороны, то третья может быть какой угодно. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, а со сторонами 6, 8, 9 — остроугольный, они подобными быть не могут, хотя 2 стороны у них пропорциональны: 3:6=4:8. С тремя углами это работает, поскольку третий угол автоматически оказывается равным, благодаря тому, что сумма всех углов треугольника = 180.

    Максим
    14 декабря 2019
    Все правильно , если по другому учат только.

    Genius
    07 мая 2020
    Нет, там всё правильно

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >