ЕГЭ №16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство (3 балла на ЕГЭ)

Что такое равные треугольники, понятно более или менее всем: их можно правильно наложить – и они совпадут.

А вот что такое «подобные треугольники»?

Вроде как «похожие», но как это понимать?

Читай эту статью и все поймешь!

А еще посмотри обязательно вебинар с нашего курса "Подготовка к ЕГЭ по математике на 90+" (он в самом начале статьи) и ты сможешь не только решить простые задачи но и задачи на доказательство (№16 на ЕГЭ)!

ШПОРА О ПОДОБИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Подобные треугольники – это треугольники, у которых все углы равны и все стороны строго пропорциональны.

Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом подобия \( \displaystyle k\).

Если \( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle k\), то:

\( \angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\)

\( \displaystyle \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k \)

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \( \displaystyle \frac{{{P}_{ABC}}}{{{P}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}=k\).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \( \displaystyle \frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}}={{k}^{2}}\).

Признаки подобия треугольников:

I признак (по двум углам):

\( \displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \( \displaystyle \angle C=\angle {{C}_{1}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

II признак (по одному углу и отношению заключающих его сторон):

\( \displaystyle \angle A=\angle {{A}_{1}}\), \( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

III признак (по отношению трех сторон):

\( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow \)\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\).

Видео: Задача №16. Подобие треугольников. Задачи на доказательство (2 часа 20 минут - да, да, это все очень серьезно!) 

Это видео - один из вебинаров нашей Программы подготовки к профильному ЕГЭ по математике.  Вся программа - это: 

  • 3 вебинара в неделю c Алексеем Шевчуком до самой даты экзамена;
  • проверка домашних работ по каждому вебинару;
  • майский марафон “Год за месяц”, где мы повторим все темы ЕГЭ, то есть “упакуем” ваши знания, чтобы получить максимум на ЕГЭ.

Что такое подобные треугольники?

Вот, например, такой и такой:

Похожи эти треугольники? Ты скажешь, конечно же нет!

А такой и такой?

Похожи!

А вот такой и такой?

Посмотри внимательно, тоже похожи.

А теперь строго математически!

Треугольники называются подобными, если у них все углы равны и все стороны пропорциональны.

То есть все углы равны и все стороны одного треугольника в \( \displaystyle 5\), или, в \( \displaystyle 7\), или в \( \displaystyle 8,21\) (или и т.д.) больше сторон другого треугольника.

Записываются слова «треугольник \( \displaystyle ABC\) подобен треугольнику \( \displaystyle {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)» с помощью такого значка:

\( \displaystyle {} \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \)

То число раз, в которое отличаются стороны подобных треугольников, называются коэффициентом подобия, обозначается обычно с помощью буквы \( \displaystyle k\).

То есть, если

\( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle k\), то это означает что

\(\angle A = \angle {A_1},\angle B = \angle {B_1},\angle C = \angle {C_1}\)

и \( \displaystyle \frac{{AB}}{{{A_1}{B_1}}} = k,\frac{{AC}}{{{A_1}{C_1}}} = k,\frac{{BC}}{{{B_1}{C_1}}} = k\)

Можно было бы все так и оставить, но, как и в случае с равенством треугольников, ленивым математикам стало слишком неохота проверять равенство ВСЕХ трех углов, и пропорциональность ВСЕХ трех сторон. И они придумали признаки подобия треугольников.


Признак подобия треугольников «по двум углам»

Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\angle C=\angle {{C}_{1}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Помнишь еще, что «\( \displaystyle \sim{\ }\)» обозначает слова «подобен»?

Осознай удобство! Вместо того, чтобы проверять 6 утверждений – 3 равных угла и 3 пропорциональных стороны – ДОСТАТОЧНО РАВЕНСТВА ВСЕГО ДВУХ УГЛОВ! И это вообще-то самых удобный и часто используемый признак.

Но есть и еще два. Смотри.

Признак подобия треугольников «две пропорциональные стороны и угол между ними»

Если треугольники имеют одинаковый угол, и стороны, заключающие этот угол, пропорциональны, то такие треугольники подобны.

\( \displaystyle \left| \begin{array}{l}\angle A=\angle {{A}_{1}}\\\frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}\end{array} \right.\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)


Признак подобия треугольников «три пропорциональные стороны»

Если три стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
\( \displaystyle \frac{AB}{{{A}_{1}}{{B}_{1}}}=\frac{AC}{{{A}_{1}}{{C}_{1}}}=\frac{BC}{{{B}_{1}}{{C}_{1}}}\Rightarrow \Delta ABC\sim{\ }{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\)

Самый главный секрет

Признаки нам рассказали о том, как обнаружить подобные треугольники, а теперь, как же воспользоваться найденным?

Скажем, ты установил, что \( \displaystyle \Delta ABC\sim{\ }\Delta {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}\) с коэффициентом подобия \( \displaystyle 2\). Так, кстати, часто бывает, когда проводят среднюю линию…

Хотите читать учебник без ограничений? Зарегистрируйтесь:

Ну вот, что же хорошего? А то, что тогда ВСЕ элементы одного треугольника ровно в \( \displaystyle 2\) (или сколько у тебя выйдет раз) больше, чем элементы другого треугольника.

НЕ ТОЛЬКО стороны, но и высоты, биссектрисы, медианы, радиусы вписанной и описанной окружности и т.д. Есть одно ВАЖНОЕ исключение: ПЛОЩАДЬ. Запомни:

Отношение площадей подобных треугольников равно КВАДРАТУ коэффициента подобия.

\( \displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\)

Почему так? А вспомни самую простую формулу площади:

\( \displaystyle S=\frac{1}{2}ah\)

Ведь \( \displaystyle {{S}_{1}}=\frac{1}{2}{{a}_{1}}{{h}_{1}}\), и при этом

\( \displaystyle \frac{a}{{{a}_{1}}}=k\), то есть \( \displaystyle a={{a}_{1}}\cdot k\)

\( \displaystyle \frac{h}{{{h}_{1}}}=k\), то есть \( \displaystyle h={{h}_{1}}\cdot k\)

Значит, \( \displaystyle S=\frac{1}{2}k{{a}_{1}}\cdot k{{h}_{1}}=\frac{1}{2}{{k}^{2}}\cdot {{a}_{1}}{{h}_{1}}\).

То есть \( \displaystyle S={{k}^{2}}\cdot {{S}_{1}}\) или \( \displaystyle \frac{S}{{{S}_{1}}}={{k}^{2}}\).

МАРАФОН "ГОД ЗА МЕСЯЦ" - ЕГЭ ПО МАТЕМАТИКЕ, ИНФОРМАТИКЕ И ФИЗИКЕ

  • Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

    Иван
    15 ноября 2019
    В 3 признаке подобия, как мне кажется, ошибка. Не три стороны должны быть пропорциональны, а всего лишь две.

    Алексей Шевчук
    15 ноября 2019
    Иван, вы путаете с признаком «по двум углам»: если пропорциональны только 2 стороны, то третья может быть какой угодно. Например, треугольник со сторонами 3, 4, 5 — прямоугольный, а со сторонами 6, 8, 9 — остроугольный, они подобными быть не могут, хотя 2 стороны у них пропорциональны: 3:6=4:8. С тремя углами это работает, поскольку третий угол автоматически оказывается равным, благодаря тому, что сумма всех углов треугольника = 180.

    Максим
    14 декабря 2019
    Все правильно , если по другому учат только.

    Genius
    07 мая 2020
    Нет, там всё правильно

  • {"email":"Email address invalid","url":"Website address invalid","required":"Required field missing"}
    >