Уравнения — профильный ЕГЭ по математике (оглавление)

В этой статье мы собрали все, что касается уравнений, чтобы подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике. На ЕГЭ это задача №12 (бывшая №13)

Если вы ничего не знаете об уравнениях, начните с самого первого раздела и читайте статьи подряд. Они расположены в порядке возрастания сложности.

Если вы уже знакомы с уравнениями, смотрите наши вебинары-практикумы по решению 12-й задачи ЕГЭ (бывшей 13-й).

Научитесь решать задачи из этих вебинаров и вы будет намного ближе к успешной сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗ мечты!


Виды уравнений

Если вы вообще не умеет решать уравнения, начните читать статьи нашего учебника. Они расположены в порядке возрастания сложности.

ЕГЭ 13а по профильной математике. Решение тригонометрических уравнений (12 минут)

Для начала научимся решать самые простые тригонометрические уравнения. Это поможет вам решить пункта «а» из 13 задачи и набрать еще один первичный балл на ЕГЭ.

Теперь перейдем к пункту «б». Посмотрите два вебинара на эту тему. Берите ручку и бумагу, ставьте на паузу и решайте задачу вместе с Алексеем Шевчуком.

ЕГЭ 13б. Тригонометрическая окружность (15 минут)

ЕГЭ 13б. Отбор корней тригонометрического уравнения. Тригонометрическая окружность (1 час 35 минут)

Окружность — основной инструмент в тригонометрии, с её помощью можно вывести любую формулу и найти любые значения.

В этом видео мы усовершенствуем навыки отбора корней тригонометрического уравнения и работы с тригонометрической окружностью.

Мы научимся решать пункт б) задачи №13 двумя способами:

  • Научимся изображать на окружности формулы вида 0,5π+πn и искать на заданном отрезке значения, соответствующие этим формулам.
  • С помощью двойного неравенства.

Тайм-коды для просмотра этого видео на YouTube

Для тех, кто предпочитает смотреть видео на YouTube, вы можете перейти по этим тайм-кодам на наш канал на YouTube:

  • 00:00 Введение
  • 00:58 Решение с помощью тригонометрической окружности. Пример 1
  • 13:00 Решение с помощью тригонометрической окружности. Пример 2
  • 19:20 Решение с помощью тригонометрической окружности. Пример 3
  • 30:00 Алгебраический способ решения (более простой и легче в оформлении, пригоден если нет арксинусов и других арк-ов)
  • 37:30 Решение с помощью двойного неравенства
  • 47:40 Проверка правильности ответов!
  • 50:20 Пример №1 с арккосинусами — решение 1 с помощью тригонометрической окружности
  • 57:45 Пример №1 с аркосинусами- решение 2 аналитическим методом
  • 01:15:50 Пример №2 с арксинусом — 2 способа решения (через окружность и через неравенства)
  • 01:28:00 Пример №3 с арктангенсом (через окружность и через двойное неравенство)

А теперь разберем задачу №13 целиком.

ЕГЭ 13. Тригонометрическое уравнение профильного ЕГЭ по математике (Вариант 2020) — 26 минут

Пункт “а” задачи 13

Пункт «а» — это зачастую тригонометрическое уравнение, но иногда бывает и показательное уравнение и логарифмическое и даже смешанное.

Например, 2^cos(x) = 1 — это одновременно и тригонометрическое уравнение и показательное, потому что cos(x) стоит в показатели степени. Поэтому для решения этой задачи нужно знать и тригонометрию и логарифмы и показательную функцию.

В 2020 году в задаче №13 было чисто тригонометрическое уравнение.

Чтобы решить такое уравнение нужно знать некоторые формулы. В первую очередь формулы приведения и формулы двойных углов, а также а также основное тригонометрическое тождество. Более сложные формулы попадаются на экзамене реже, но их тоже надо знать.

Пункт “б” задачи №13

В 2020 году на ЕГЭ необходимо было указать корни тригонометрического уравнения принадлежащие отрезку. Решать пункт “б” можно двумя способами:

  • отметить корни уравнения на единичной окружности;
  • через двойное неравенство.

Второй способ чуть дольше, чем первый, но зато вы сможете проще описать все ваши рассуждения и вам будет сложнее ошибиться.

И еще один плюс второго способа — его проще оформить, так, чтобы к вам не придрались на ЕГЭ.

Мы считаем второй способ более предпочтительным на ЕГЭ по математике.

Важно помнить, что если вы неправильно решите пункт “а”, то скорее всего вы неправильно решите и пункт “б”. Поэтому сначала вам нужно научиться решать уравнения пункта “а”, а потом браться за пункт “б”. Хотя пункт “б” в целом проще — вам нужно просто подставить найденные формулы в неравенство.

Тайм-коды для просмотра этого видео на YouTube

Для тех, кто предпочитает смотреть видео на YouTube, вы можете перейти по этим тайм-кодам на наш канал на YouTube:

  • 00:00 — Вступление
  • 00:01 — Решение пункта “а” задачи №13
  • 13:50 — Решение пункта “б” с помощью единичной окружности
  • 15:58 — Решение пункта “б” с помощью двойных неравенств
  • 23:40 — Заключение

За решение задачи №13 можно получить 2 первичных балла.

Более подробная теория по тригонометрическим уравнениям находится в статье «Тригонометрические уравнения»

А пока давайте рассмотрим еще два видео с задачей №13 — очень сложную смешанную задачу и олимпиадную задачу.

13 задание ЕГЭ по профильной математике. Очень сложная смешанная задача — тригонометрическая, показательная, логарифмическая (45 минут)

Задачу 13 мы уже прошли вдоль и поперёк на нашем курсе подготовки к ЕГЭ по математике: и тригонометрические, и показательные, и логарифмические уравнения. Да и смешанные тоже. Научились оформлять и быстро решать пункт б.

Но уверены ли вы, что решите любую задачу?

В этом видео мы покажем вам задачу, которая ставит в ступор даже отличников, хотя для её решения ничего особенного-то и не требуется. Повторяйте формулы сокращённого умножения — они вам пригодятся.

ЕГЭ 13. Тригонометрическая замена. Олимпиадная задача-оборотень по математике (60 минут)

Мы на курсе проходим тригонометрию и учимся решать 13-е задачи. В этих задачах чаще всего нужно синус или косинус заменить какой-то буквой, и решать квадратное уравнение.

Но что если я вам скажу, что есть такие задачи, в которых всё наоборот — нужно обычный икс заменить на синус или косинус, хотя изначально там нет никакого намёка на тригонометрию?

Посмотрите это видео и вы научитесь решать такую задачу-оборотень, а заодно — научитесь решать дичайшие иррациональные уравнения.

Самые бюджетные курсы по подготовке к ЕГЭ на 90+

Алексей Шевчук — ведущий курсов

  • тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
  • автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
  • закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
  • репетиторский стаж — 19 лет (c 2003 года);
  • в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
  • отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».