Треугольник. Начальный уровень.

Начни готовиться к ЕГЭ по математике или ГИА по математике бесплатно!

Краткое изложение темы и содержание всего раздела смотри здесь.

На тему «Треугольник», пожалуй, можно было бы написать целую книжку. Но книжку целиком читать слишком долго, правда? Поэтому мы здесь рассмотрим только факты, которые касаются вообще любого треугольника, а всякие специальные темы, такие как равнобедренный треугольник, прямоугольный треугольник и т.д. выделены в отдельные темы – читай книжку по кусочкам. Ну вот, что же касается любого треугольника.

1. Сумма углов треугольника. Внешний угол.

Треугольник рис. 1 Сумма внутренних углов любого треугольника равна \(\displaystyle 180{}^\circ \).

Запомни твердо и не забывай. Доказывать мы это не будем (смотри следующие уровни теории).

Единственное, что тебя может смущать в нашей формулировке – это слово «внутренних».

Зачем оно тут? А вот именно затем, чтобы подчеркнуть, что речь идёт об углах, которые внутри треугольника. А что, разве бывают ещё какие-то углы снаружи? Вот представь себе, бывают. У треугольника ещё бывают внешние углы. И самое главное следствие из того факта, что сумма внутренних углов треугольника равна \(\displaystyle 180{}^\circ \), касается как раз внешнего треугольника. Так что давай выясним, что же такое этот внешний угол треугольника.

Смотри на картинку: берём треугольник и одну сторону (скажем \(\displaystyle AC\)) продолжаем.

Внешний угол треугольника рис. 1 Видишь, получился новый угол, \(\displaystyle \angle BCE\)? Этот угол образован одной стороной (\(\displaystyle BC\)) треугольника и продолжением другой стороны (\(\displaystyle AC\)). Вот он и называется внешним углом треугольника \(\displaystyle ABC\) при вершине \(\displaystyle C\).

Конечно, мы бы могли оставить сторону \(\displaystyle AC\), а продолжить сторону \(\displaystyle BC\). Вот так:

Внешний угол треугольника рис. 2 Тогда \(\displaystyle \angle ACK\) тоже будет внешним углом при вершине \(\displaystyle C\), да и к тому же он будет равен углу \(\displaystyle BCE\).
Внешний угол треугольника рис. 3 Смотри: углы \(\displaystyle BCE\) и \(\displaystyle ACK\) – равны как вертикальные, и оба они имеют право называться внешним углом при вершине \(\displaystyle C\).

А вот про угол \(\displaystyle ECK\) такого сказать ни в коем случае нельзя!

Не внешний угол треугольника Он образован пересечением двух продолжений сторон! Угол \(\displaystyle ECK\) вообще равен внутреннему \(\displaystyle \angle C\) треугольника \(\displaystyle ABC\).

Так что не каждый угол снаружи треугольника имеет право называется внешним углом, а только тот, который образован одной стороной и продолжением другой стороны.

Так что же мы должны знать про внешний угол?

Внешний угол треугольника рис. 4 Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Смотри, на нашем рисунке это означает, что \(\angle 4=\angle 1+\angle 2\).

Как же это связано с суммой углов треугольника?

Давай разберёмся. Сумма внутренних углов равна \(\displaystyle 180{}^\circ \Rightarrow \)

\( \angle 4=\angle 1+\angle 2=180{}^\circ \),

но \(\angle 4+\angle 3=180{}^\circ \) — потому, что \(\angle 3\) и \(\angle 4\) – смежные.

Ну вот и получается: \(\angle 4=\angle 1+\angle 2\).

Видишь как просто?! Но очень важно. Так что запоминай:

Сумма внутренних углов треугольника равна \(180{}^\circ \), а внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, не смежных с ним.

Проверь себя — реши задачи на треугольник.

2. Неравенство треугольника

Следующий факт касается не углов, а сторон треугольника.

Неравенство треугольника рис. 1 Сумма любых двух сторон треугольника больше его третьей стороны.

Это означает, что

\(a+b>c\)  и

\(a+c>b\) и

\(b+c>a\)

Ты уже догадался, почему этот факт называется неравенством треугольника?

Ну вот, а где же это неравенство треугольника может оказаться полезным?

А представь, что у тебя есть три друга: Коля, Петя и Сергей. И вот, Коля говорит: «От моего дома до Петиного \(100\) м по прямой». А Петя: «От моего дома до дома Сергея \(200\) метров по прямой». А Сергей: «Вам хорошо, а от моего дома до Колиного аж \(500\) м по прямой». Ну, тут уже ты должен сказать: «Стоп, стоп! Кто – то из вас говорит неправду!»

Неравенство треугольника рис. 2 Так не может быть!

Почему? Да потому что если от Коли до Пети \(100\) м, а от Пети до Сергея \(200\) м, то от Коли до Сергея точно должно быть меньше \(300\) (\(=100+200\)) метров – иначе и нарушается то самое неравенство треугольника. Ну и здравый смысл точно, естественно, нарушается: ведь всякому с детства неизвестно, что путь до прямой (\(КС\)) должен быть короче, чем путь с заходом в точку \(П\). (\(К-П-С\)). Так что неравенство треугольника просто отражает этот общеизвестный факт. Ну вот, ты теперь знаешь, как отвечать на такой, скажем, вопрос:

Бывает ли треугольник со сторонами \(1,3,7\)?

Ты должен проверить, правда ли, что любые два числа из этих трёх в сумме больше третьего. Проверяем: \(1+3<7\), значит, треугольника со сторонами \(1,3\) и \(7\) не бывает! А вот со сторонами  \(2,4,5\) – бывает, потому что

\(2+4>5\) и

\(2+5>4\) и

\(4+5>2\)

Проверь себя — реши задачи на треугольник.

3. Равенство треугольников

Ну вот, а если не один, а два или больше треугольников. Как проверишь, равны ли они? Вообще-то по определению:

Два треугольника равны, если они совпадают при наложении.

Но…это ужасно неудобное определение! Как, скажите на милость, накладывать два треугольника хотя бы даже в тетради?! Но на наше счастье есть признаки равенства треугольников, которые позволяют действовать умом, не подвергая риску тетрадки.

Да и к тому же, отбросив легкомысленные шуточки, открою тебе секрет: для математика слово «наложить треугольники» означает вовсе не вырезать их и наложить, а сказать много — много – много слов, которые будет доказывать, что два треугольника совпадут при наложении. Так что ни в коем случае нельзя в работе писать «я проверил – треугольники совпадают при наложении» — тебе это не засчитают, и будут правы, потому что никто не гарантирует, что ты при наложении не ошибся, скажем, на четверть миллиметра.

Итак, какие-то математики сказали кучу слов, мы за ними эти слова повторять не будем (разве что в последнем уровне теории), а будем активно пользоваться тремя признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Если две стороны и угол между ними в одном треугольнике соответственно равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике, то эти треугольники равны.

Второй признак равенства треугольников

Второй признак равенства треугольников

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Третий признак равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

В обиходе (математическом) приняты такие укороченные формулировки – их легче запомнить и применять.

  1. Первый признак – по двум сторонам и углу между ними;
  2. Второй признак – по двум углам и прилежащей стороне;
  3. Третий признак – по трём сторонам.

Проверь себя — реши задачи на треугольник.
Хочешь подготовиться к ЕГЭ/ГИА — начни обучение.

Добавить комментарий